[答案]
2
[解析] ∵EF∥平面AB1C，
平面ABCD经过直线EF与平面AB1C相交于AC， ∴EF∥AC，
∵E为AD的中点，∴F为CD的中点， 11
∴EF＝2AC＝2×22＝2.
9．(2011·郑州一检)已知两条不重合的直线m、n，两个不重合的平面α、β，有下列命题：
①若m∥n，n?α，则m∥α；
②若n⊥α，m⊥β，且n∥m，则α∥β； ③若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β； ④若α⊥β，α∩β＝m，n?β，n⊥m，则n⊥α. 其中正确命题的序号是________． [答案] ②④
[解析] 对于①，直线m可能位于平面α内，此时不能得出m∥α，因此①不正确；对于②，由n⊥α，m∥n，得m⊥α，又m⊥β，所
以α∥β，因此②正确；对于③，直线m，n可能是两条平行直线，此时不一定能得出α∥β，因此③不正确；对于④，由“如果两个平面相互垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面”可知，④正确．综上所述，其中正确命题的序号是②④.
10．(文)(2012·辽宁文，18)如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA′＝1，点M、N分别为A′B和B′C′的中点．
(1)证明：MN∥平面A′ACC′；
1
(2)求三棱锥A′－MNC的体积(锥体体积公式V＝3Sh，其中S为底面面积，h为高)．
[分析] (1)欲证MN∥平面A′ACC′，须在平面A′ACC′内找到一条直线与MN平行，由于M、N分别为A′B，B′C′的中点，B′C′与平面A′ACC′相交，又M为直三棱柱侧面ABB′A′的对角线A′B的中点，从而M为AB′的中点，故MN为△AB′C′的中位线，得证．(2)欲求三棱锥A′－MNC的体积，注意到直三棱柱的特殊性和点M、N为中点，可考虑哪一个面作为底面有利于问题的11解决，视A′MC为底面，则S△A′MC＝2S△A′BC，∴VA′－MNC＝2VN－A′BC，
又VN－A′BC＝VA′－NBC，易知A′N为三棱锥A′－NBC的高，于是易得待求体积．
[解析] (1)连结AB′，AC′，由已知∠BAC＝90°， AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，
所以M为AB′中点． 又因为N为B′C′的中点， 所以MN∥AC′. 又MN?平面A′ACC′， AC′?平面A′ACC′， 因此MN∥平面A′ACC′.
(2)连结BN，由题意A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′，所以A′N⊥平面NBC.
1
又A′N＝2B′C′＝1，
111
故VA′－MNC＝VN－A′MC＝2VN－A′BC＝2VA′－NBC＝6.
[点评] 本题考查了线面平行的证明，锥体的体积两方面的问
题，对于(1)还可以利用面面平行(平面MPN∥平面A′ACC′，其中P为A′B′的中点)来证明；
(2)还可利用割补法求解．
(理)(2012·浙江文，20)如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．
(1)证明：①EF∥A1D1； ②BA1⊥平面B1C1EF；
(2)求BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值．
[分析] (1)①欲证EF∥A1D1，∵B1C1∥A1D1，∴只需证EF∥B1C1，故由线面平行的性质定理“线面平行?线线平行”可推证．
②要证BA1⊥平面B1C1EF，需证BA1⊥B1C1，BA1⊥B1F，要证BA1⊥B1C1，只需证B1C1⊥平面AA1B1B，要证BA1⊥B1F，通过在侧面正方形AA1B1B中计算证明即可．
(2)设BA1与B1F交于点H，连结C1H，则∠BC1H就是所求的角． [解析] (1)①∵C1B1∥A1D1，C1B1?平面ADD1A1， ∴C1B1∥平面A1D1DA.
又∵平面B1C1EF∩平面A1D1DA＝EF， ∴C1B1∥EF，∴A1D1∥EF.
②∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BB1⊥B1C1，
又∵B1C1⊥B1A1，∴B1C1⊥平面ABB1A1.∴B1C1⊥BA1. 在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点， 2
tan∠A1B1F＝tan∠AA1B＝2，即 ∠A1B1F＝∠AA1B，
∴BA1⊥B1F.又∵BA1⊥B1C1， 所以BA1⊥平面B1C1EF.
(2)设BA1与B1F交点为H，连结C1H.
由(1)知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF所成的角．
在矩形AA1B1B中，由AB＝2，AA1＝2，得BH＝
4
在Rt△BHC1中，由BC1＝25，BH＝得，
6BH30
sin∠BC1H＝BC＝15.
1
30
所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是15.
[点评] 本题主要考查空间点、线、面的位置关系，线面角等基
4. 6