(1)求证：BC⊥平面ABPE；
(2)直线PE上是否存在点M，使DM∥平面PBC，若存在，求出点M；若不存在，说明理由．
[解析] (1)∵PO⊥平面ABCD， BC?平面ABCD，∴BC⊥PO，
又BC⊥AB，AB∩PO＝O，AB?平面ABP，PO?平面ABP，∴BC⊥平面ABP，
又EA∥PO，AO?平面ABP， ∴EA?平面ABP，∴BC⊥平面ABPE. (2)点E即为所求的点，即点M与点E重合． 取PO的中点N，连结EN并延长交PB于F， ∵EA＝1，PO＝2，∴NO＝1，
又EA与PO都与平面ABCD垂直，∴EF∥AB， 1
∴F为PB的中点，∴NF＝2OB＝1，∴EF＝2， 又CD＝2，EF∥AB∥CD，
∴四边形DCFE为平行四边形，∴DE∥CF， ∵CF?平面PBC，DE?平面PBC，∴DE∥平面PBC.
∴当M与E重合时，DM∥平面PBC. 16.
(2012·北京海淀区二模)在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱AB、BB′、B′C′、C′D′的中点分别为E、F、G、H，如图所示．
(1)求证：AD′∥平面EFG； (2)求证：A′C⊥平面EFG；
(3)判断点A、D′、H、F是否共面，并说明理由． [解析]
(1)证明：连结BC′.
在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝C′D′，AB∥C′D′.
所以四边形ABC′D′是平行四边形．
所以AD′∥BC′.
因为F、G分别是BB′、B′C′的中点， 所以FG∥BC′，所以FG∥AD′.
因为EF、AD′是异面直线，所以AD′?平面EFG. 因为FG?平面EFG，所以AD′∥平面EFG. (2)证明：连结B′C.
在正方体ABCD－A′B′C′D′中，A′B′⊥平面BCC′B′BC′?平面BCC′B′，
所以A′B′⊥BC′.
在正方体BCC′B′中，B′C⊥BC′， 因为A′B′?平面A′B′C，
B′C′?平面A′B′C，A′B′∩B′C′＝B′， 所以BC′⊥平面A′B′C.
因为A′C?平面A′B′C，所以BC′⊥A′C. 因为FG∥BC′，所以A′C⊥FG. 同理可证：A′C⊥EF.
因为EF?平面EFG，FG?平面EFG，EF∩FG＝F， 所以A′C⊥平面EFG.
，
(3)点A、D′、H、F不共面．理由如下： 假设A、D′、H、F共面．连结C′F、AF、HF. 由(1)知，AD′∥BC′，
因为BC′?平面BCC′B′，AD′?平面BCC′B′. 所以AD′∥平面BCC′B′.
因为C′∈D′H，所以平面AD′HF∩平面BCC′B′＝C′F. 因为AD′?平面AD′HF，所以AD′∥C′F. 所以C′F∥BC′，而C′F与BC′相交，矛盾． 所以A，D′、H、F点不共面．
1．设m、l是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )
A．若l⊥m，m?α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α C．若l∥α，m?α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m [答案] B
[解析] 两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于
这个平面，故选B.
2.
如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝2a，点E在PD上，且PE:ED＝2:1.
(1)证明：PA⊥平面ABCD；
(2)在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？如果存在，请求出此时PF?FC的值；如果不存在，请说明理由．
[解析] (1)因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，所以AB＝AD＝AC＝a.
在△PAB中，由PA2＋AB2＝2a2＝PB2，知PA⊥AB. 同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.
(2)连结BD，则平面PBD与平面AEC的交线为EO，在△PBD中作BM∥OE交PD于M，则BM∥平面AEC，在△PCE中过M作MF∥CE交PC于F，则MF∥平面AEC，故平面BFM∥平面AEC，所以BF∥平面AEC，F点即为所求的满足条件的点．由条件O为BD的中点可知，E为MD的中点．
又由PE:ED＝2:1，∴M为PE的中点，
又FM∥CE，故F是PC的中点，∴此时PF:FC＝1.
3．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在平面互相垂直，EF