∴QP=4cm﹣1cm=3cm， 即t=3，
当当⊙P于AC切于C点时，连接PC， 则∠CP′N=∠ACP′=90°，∠P′NC=∠BNM=60°，CP′=∴P′N=1cm，
∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm， 即当3≤t≤7时，⊙P和AC边相切； ③如图1，
cm，
当⊙P切BC于N′时，连接PN′3 则PN′=
cm，∠PM\\N′N=90°，
∵∠PNN′=∠BNM=60°， ∴N′N=1cm，PN=2NN′=2cm， ∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm， 即t=8；
故答案为：t=2或3≤t≤7或t=8．
【方法指导】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，切线的性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行计算的能力，注意要进行分类讨论啊．
．2(2013浙江湖州,16,4分)如图，已知点A是第一象限内横坐标为23的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y??x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是__▲__．
【答案】22 【解析】（1）首先，需要证明线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹），如答图②所示．利用相似三角形可以证明；（2）其次，如答图①所示，利用相似三角形△AB0Bn∽△AON，求出线段B0Bn的长度，即点B运动的路径长．
OM=23，点N在直线y=-x上，AC⊥x轴于点M，则△OMN为等腰直角三角形，ON=2OM=2×23 =26．如答图①所示，设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B0，动点P在N点（起点）时，点B的位置为Bn，连接B0Bn．∵AO⊥AB0，AN⊥ABn，∴∠OAC=∠B0ABn，又∵
AB0=AO?tan30°，ABn=AN?tan30°，∴AB0：AO=ABn：AN=tan30°，∴△AB0Bn∽△AON，且相似比为tan30°，∴B0Bn=ON?tan30°=26×动的路径（或轨迹）．
3=22．现在来证明线段B0Bn就是点B运3
如答图②所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi，连接AP，ABi，B0Bi．∵AO⊥AB0，AP⊥ABi，∴∠OAP=∠B0ABi，又∵AB0=AO?tan30°，ABi=AP?tan30°，∴AB0：AO=ABi：AP，∴△AB0Bi∽△AOP，∴∠AB0Bi=∠AOP．又∵△AB0Bn∽△AON，∴∠AB0Bn=∠AOP，∴∠AB0Bi=∠AB0Bn，∴点Bi在线段B0Bn上，即线段B0Bn就是点B运动的路径（或轨迹）．综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B0Bn，其长度为22．故答案为：22．
【方法指导】本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大．本题的要点
有两个：首先，确定点B的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点B运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中 3．（2013山东菏泽，14，3分）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=时， EP+BP=____________.
A 1CE3E D P Q F B
（第14题）
【答案】12．
C
【解析】延长BQ角射线EF于M.
∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF//BC，即EM//BC.
2CEEMEQ23∴△EQM∽△EQB，∴???， BCCQ1CE13EM即?2，∴EM=12.
6∵∠CBP的平分线交CE于Q，∴∠PBM=∠CBM， ∵EM//BC，∴∠EMB=∠CBM，
∴∠PBM=∠EMB，∴PB=PM，所以EP+BP=EM=12.
【方法指导】本题考查三角形相似、三角形中位线性质、角平分线意义等.本题是一道动点型问题，解题时要善于从“动中求静，联想关联知识”.
三、解答题
1. （2013杭州4分）射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，
cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出
t可取的一切值 （单位：秒）
【思路分析】求出AB=AC=BC=4cm，MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，分为三种情况：画出图形，结合图形求出即可； 【解析】∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm，∠A=∠C=∠B=60°， ∵QN∥AC，AM=BM． ∴N为BC中点，
∴MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°， 分为三种情况：①如图1，
当⊙P切AB于M′时，连接PM′， 则PM′=
cm，∠PM′M=90°，
∵∠PMM′=∠BMN=60°， ∴M′M=1cm，PM=2MM′=2cm， ∴QP=4cm﹣2cm=2cm， 即t=2； ②如图2，
当⊙P于AC切于A点时，连接PA，
则∠CAP=∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP=∴PM=1cm，
∴QP=4cm﹣1cm=3cm， 即t=3，
当当⊙P于AC切于C点时，连接PC， 则∠CP′N=∠ACP′=90°，∠P′NC=∠BNM=60°，CP′=∴P′N=1cm，
∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm， 即当3≤t≤7时，⊙P和AC边相切； ③如图1，
cm， cm，
当⊙P切BC于N′时，连接PN′3 则PN′=
cm，∠PM\\N′N=90°，
∵∠PNN′=∠BNM=60°， ∴N′N=1cm，PN=2NN′=2cm， ∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm， 即t=8；
故答案为：t=2或3≤t≤7或t=8．
【方法指导】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，切线的性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行计算的能力，注意要进行分类讨论啊．