17．（2013·济宁，23，?分）如图，直线y=－x＋4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运
动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）． （1）求点P运动的速度是多少？
（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？
（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．
考点：一次函数综合题．
分析：（1）根据直线y=－x＋4与坐标轴分别交于点A、B，得出A，B点的坐标，再利用EP∥BO，得出
=
=，据此可以求得点P的运动速度；
（2）当PQ=PE时，以及当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，分别求出即可； （3）根据（2）中所求得出s与t的函数关系式，进而利用二次函数性质求出即可． 解答：解：（1）∵直线y=－x＋4与坐标轴分别交于点A、B， ∴x=0时，y=4，y=0时，x=8，∴==， 当t秒时，QO=FQ=t，则EP=t， ∵EP∥BO，∴=
=，∴AP=2t，
∵动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动， ∴点P运动的速度是每秒2个单位长度；
（2）如图1，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，
则OQ=FQ=t，PA=2t，∴QP=8－t－2t=8－3t，∴8－3t=t，解得：t=2， 如图2，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，
∵OQ=t，PA=2t，∴OP=8－2t，∴QP=t－（8－2t）=3t－8， ∴t=3t－8，解得：t=4；
（3）如图1，当Q在P点的左边时，
∵OQ=t，PA=2t，∴QP=8－t－2t=8－3t， 如图2，当Q在P点的右边时，
∵OQ=t，PA=2t，∴QP=t－（8－2t）=3t－8， ∴S矩形PEFQ=QP?QE=（3t－8）?t=3t2－8t，
∵当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动，∴0≤t≤4， 当t=－
=时，S矩形PEFQ的最小，
∴t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：3×42－8×4=16， 综上所述，当t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：16．
点评：此题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，得出P，Q不同的位置进行分类讨论得出是解题关键．
18．（2013·潍坊，24，13分）如图，抛物线y?ax?bx?c关于直线x?1对称，与坐标轴交于A、B、C三点，且AB?4，点D?2，?在抛物线上，直线是一次函数
2??3?2?y?kx?2?k?0?的图象，点O是坐标原点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线平分四边形OBDC的面积，求k的值．
（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于M、N两
点，问在y轴正半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
答案：（1）因为抛物线关于直线x＝1对称，AB＝4，所以A(－1，0)，B(3，0)，
?a?b?c?0由点D(2，1．5)在抛物线上，所以?，所以3a＋3b＝1．5，即a＋b＝0．5，
4a?2b?c?1.5?又?b?1，即b＝－2a，代入上式解得a＝－0．5，b＝1，从而c＝1．5，所以2a13y??x2?x?．
22
123x?x?，令x＝0，得c(0，1．5)，所以CD//AB， 2273,)， 令kx－2＝1．5，得l与CD的交点F(
2k22令kx－2＝0，得l与x轴的交点E(,0)，
k（2）由（1）知y??根据S四边形OEFC＝S四边形EBDF得：OE＋CF＝DF＋BE，
272711??(3?)?(2?),解得k?, k2kk2k512312（3）由（1）知y??x?x???(x?1)?2,
222即
所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为y??12x 2
假设在y轴上存在一点P(0，t)，t＞0，使直线PM与PN关于y轴对称，过点M、N分别向y轴作垂线MM1、NN1，垂足分别为M1、N1，因为∠MPO＝∠NPO，所以Rt△MPM1∽Rt△NPN1， 所以
MM1PM1?，………………(1) NN1PN1?xMt?yM?，又yM ＝k xM－2， yN＝k xN－2， xNt?yN12x中，整理得x2＋2kx－4＝0， 2不妨设M(xM，yM)在点N(xN，yN)的左侧，因为P点在y轴正半轴上， 则（1）式变为
所以（t＋2）(xM ＋xN)＝2k xM xN，……(2) 把y＝kx－2(k≠0)代入y??所以xM ＋xN＝－2k， xM xN＝－4，代入（2）得t＝2，符合条件， 故在y轴上存在一点P（0，2），使直线PM与PN总是关于y轴对称．
考点：本题是一道与二次函数相关的压轴题，综合考查了考查了二次函数解析式的确定，函数图象交点及图形面积的求法，三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法等知识，难度较大．
点评：本题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识，解决实际问题的能力。问题设计富有梯度、由易到难层层推进，既考查了知识掌握，也考查了方法的灵活应用和数学思想的形成。
19．（2013江苏苏州，28，9分）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝10cm，BC＝12cm．点E，F，G分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm／s，点G的运动速度为1.5cm／s．当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F，设点E，F，G运动的时间为t（单位：s）．
(1)当t＝ ▲ s时，四边形EBFB′为正方形；
(2)若以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值； (3)是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．