所以（t＋2）(xM ＋xN)＝2k xM xN，……(2) 把y＝kx－2(k≠0)代入y??12x中，整理得x2＋2kx－4＝0， 2所以xM ＋xN＝－2k， xM xN＝－4，代入（2）得t＝2，符合条件， 故在y轴上存在一点P（0，2），使直线PM与PN总是关于y轴对称．
考点：本题是一道与二次函数相关的压轴题，综合考查了考查了二次函数解析式的确定，函数图象交点及图形面积的求法，三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法等知识，难度较大．
点评：本题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识，解决实际问题的能力。问题设计富有梯度、由易到难层层推进，既考查了知识掌握，也考查了方法的灵活应用和数学思想的形成。
5 ．（2013湖北宜昌，22，12分）如图1，平面之间坐标系中，等腰直角三角形的直角边
BC在x轴正半轴上滑动，点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，经过O，C两点做抛物线y1=ax（x﹣t）（a为常数，a＞0），该抛物线与斜边AB交于点E，直线OA：y2=kx（k为常数，k＞0）
（1）填空：用含t的代数式表示点A的坐标及k的值：A （t，4） ，k= （k＞0） ； （2）随着三角板的滑动，当a=时：
①请你验证：抛物线y1=ax（x﹣t）的顶点在函数y=
的图象上；
②当三角板滑至点E为AB的中点时，求t的值；
（3）直线OA与抛物线的另一个交点为点D，当t≤x≤t+4，|y2﹣y1|的值随x的增大而减小，当x≥t+4时，|y2﹣y1|的值随x的增大而增大，求a与t的关系式及t的取值范围．
考点：二 次函数综合题． 分析：（ 1）根据题意易得点A的横坐标与点C的相同，点A的纵坐标即是线段AC的长度；把点A的坐标代入直线OA的解析式来求k的值； （2）①求得抛物线y1的顶点坐标，然后把该坐标代入函数y=数解析式y=数y=，即表示该顶点在函数y=图象上； ，若该点满足函图象上；反之，该顶点不在函②如图1，过点E作EK⊥x轴于点K．则EK是△ACB的中位线，所以根据三角形中位线定理易求点E的坐标，把点E的坐标代入抛物线y1=x（x﹣t）即可求得t=2； （3）如图2，根据抛物线与直线相交可以求得点D横坐标是由此可以求得a与t的关系式． 解答：解 ：（1）∵点C的坐标为（t，0），直角边AC=4， ∴点A的坐标是（t，4）． 又∵直线OA：y2=kx（k为常数，k＞0）， ∴4=kt，则k=（k＞0）． （2）①当a=时，y1=x（x﹣t），其顶点坐标为（，﹣对于y=上． 故当a=时，抛物线y1=ax（x﹣t）的顶点在函数y= ②如图1，过点E作EK⊥x轴于点K． ∵AC⊥x轴， ∴AC∥EK． ∵点E是线段AB的中点， ∴K为BC的中点， ∴EK是△ACB的中位线， ∴EK=AC=2，CK=BC=2， ∴E（t+2，2）． ∵点E在抛物线y1=x（x﹣t）上， ∴（t+2）（t+2﹣t）=2， 解得t=2． （3）如图2，，则x=ax（x﹣t）， 的图象上； 来说，当x=时，y=×=﹣）． ）在抛物线y=+4．则t+4=+4，，即点（，﹣解得x=+4，或x=0（不合题意，舍去）．． +t． +t， 故点D的横坐标是当x=+t时，|y2﹣y1|=0，由题意得t+4=解得a=（t＞0）． 点评：本 题考查了坐标与图形的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数与二次函数交点坐标等知识点．解题时，注意“数形结合”数学思想的应用． ．（2013湖南郴州，25，10分）如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F． （1）证明：△PCE是等腰三角形；
（2）EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之间的数量关系；
（3）当k=4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式．x为何值时，S有最大值？并求出S的最大值．
考点：等 腰三角形的判定与性质；二次函数的最值；解直角三角形． 分析：（ 1）根据等边对等角可得∠A=∠C，然后根据两直线平行，同位角相等求出∠CPE=∠A，从而得到∠CPE=∠C，即可得证； （2）根据等腰三角形三线合一的性质求出CM=CP，然后求出EM，同理求出FN、BH的长，再根据结果整理可得EM+FN=BH； （3）分别求出EM、FN、BH，然后根据S△PCE，S△APF，S△ABC，再根据S=S△ABC﹣S△PCE﹣S△APF，整理即可得到S与x的关系式，然后利用二次函数的最值问题解答． 解答：（ 1）证明：∵AB=BC， ∴∠A=∠C， ∵PE∥AB， ∴∠CPE=∠A， ∴∠CPE=∠C， ∴△PCE是等腰三角形； （2）解：∵△PCE是等腰三角形，EM⊥CP， ∴CM=CP=，tanC=tanA=k， ∴EM=CM?tanC=?k=同理：FN=AN?tanA=， ?k=4k﹣， 由于BH=AH?tanA=×8?k=4k， 而EM+FN=+4k﹣=4k， ∴EM+FN=BH； （3）解：当k=4时，EM=2x，FN=16﹣2x，BH=16， 22所以，S△PCE=x?2x=x，S△APF=（8﹣x）?（16﹣2x）=（8﹣x），S△ABC=×8×16=64， S=S△ABC﹣S△PCE﹣S△APF， 22=64﹣x﹣（8﹣x）， 2=﹣2x+16x， 2配方得，S=﹣2（x﹣4）+32， 所以，当x=4时，S有最大值32． 点评：本 题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，锐角三角函数，二次函数的最值问题，表示出各三角形的高线是解题的关键，也是本题的难点． 8 ．（2013湖南郴州，26，10分）如图，在直角梯形AOCB中，AB∥OC，∠AOC=90°，AB=1，AO=2，OC=3，以O为原点，OC、OA所在直线为轴建立坐标系．抛物线顶点为A，且经过点C．点P在线段AO上由A向点O运动，点O在线段OC上由C向点O运动，QD⊥OC交BC于点D，OD所在直线与抛物线在第一象限交于点E．
（1）求抛物线的解析式； （2）点E′是E关于y轴的对称点，点Q运动到何处时，四边形OEAE′是菱形？
（3）点P、Q分别以每秒2个单位和3个单位的速度同时出发，运动的时间为t秒，当t为何值时，PB∥OD？
考点：二 次函数综合题． 分析：（ 1）根据顶点式将A，C代入解析式求出a的值，进而得出二次函数解析式； （2）利用菱形的性质得出AO与EE′互相垂直平分，利用E点纵坐标得出x的值，进而得出BC，EO直线解析式，再利用两直线交点坐标求法得出Q点坐标，即可得出答案； （3）首先得出△APB∽△QDO，进而得出解答：解 ：（1）∵A（0，2）为抛物线的顶点， 2∴设y=ax+2， =，求出m的值，进而得出答案． ∵点C（3，0），在抛物线上， ∴9a+2=0， 解得：a=﹣， 2∴抛物线为；y=﹣x+2； （2）如果四边形OEAE′是菱形，则AO与EE′互相垂直平分， ∴EE′经过AO的中点， ∴点E纵坐标为1，代入抛物线解析式得： 21=﹣x+2， 解得：x=±， ∵点E在第一象限， ∴点E为（，1）， 设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（1，2），C（3，0），代入得： ， 解得：， ∴BC的解析式为：y=﹣x+3， 将E点代入y=ax，可得出EO的解析式为：y=x， 由， 得：， ∴Q点坐标为：（∴当Q点坐标为（，0）， ，0）时，四边形OEAE′是菱形； （3）法一：设t为m秒时，PB∥DO，又QD∥y轴，则有∠APB=∠AOE=∠ODQ， 又∵∠BAP=∠DQO，则有△APB∽△QDO， ∴=， 由题意得：AB=1，AP=2m，QO=3﹣3m， 又∵点D在直线y=﹣x+3上，∴DQ=3m， 因此：=，解得：m=， 经检验：m=是原分式方程的解， ∴当t=秒时，PB∥OD． 法二：作BH⊥OC于H，则BH=AO=2，OH=AB=1，HC=OC﹣OH=2，