2．（2013湖北孝感，25，12分）如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）； （2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）． ①AE=EF是否总成立？请给出证明；
2
②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y=﹣x+x+1上，求此时点F的坐标．
考点：二 次函数综合题． 专题：综 合题． 分析：（ 1）取AB的中点G，连接EG，利用SSS能得到△AGE与△ECF全等； （2）①在AB上截取AM=EC，证得△AME≌△ECF即可证得AE=EF； ②过点F作FH⊥x轴于H，根据FH=BE=CH设BH=a，则FH=a﹣1，然后表示出点F2的坐标，根据点F恰好落在抛物线y=﹣x+x+1上得到有关a的方程求得a值即可求得点F的坐标； 解答：（ 1）解：如图1，取AB的中点G，连接EG． △AGE与△ECF全等． （2）①若点E在线段BC上滑动时AE=EF总成立． 证明：如图2，在AB上截取AM=EC． ∵AB=BC， ∴BM=BE， ∴△MBE是等腰直角三角形， ∴∠AME=180°﹣45°=135°， 又∵CF平分正方形的外角， ∴∠ECF=135°， ∴∠AME=∠ECF． 而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°， ∴∠BAE=∠CEF， ∴△AME≌△ECF． ∴AE=EF． ②过点F作FH⊥x轴于H， 由①知，FH=BE=CH， 设BH=a，则FH=a﹣1， ∴点F的坐标为F（a，a﹣1） 2∵点F恰好落在抛物线y=﹣x+x+1上， 2∴a﹣1=﹣a+a+1， 2∴a=2，（负值不合题意，舍去）， ∴． ∴点F的坐标为． 点评：本 题考查了二次函数的综合知识，题目中涉及到了全等的知识，还渗透了方程思想，是一道好题． 3（2013·济宁，23，?分）如图，直线y=－x＋4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）． （1）求点P运动的速度是多少？
（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？
（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．
考点：一次函数综合题．
分析：（1）根据直线y=－x＋4与坐标轴分别交于点A、B，得出A，B点的坐标，再利用EP∥BO，得出
=
=，据此可以求得点P的运动速度；
（2）当PQ=PE时，以及当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，分别求出即可； （3）根据（2）中所求得出s与t的函数关系式，进而利用二次函数性质求出即可． 解答：解：（1）∵直线y=－x＋4与坐标轴分别交于点A、B， ∴x=0时，y=4，y=0时，x=8，∴==， 当t秒时，QO=FQ=t，则EP=t， ∵EP∥BO，∴=
=，∴AP=2t，
∵动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动， ∴点P运动的速度是每秒2个单位长度；
（2）如图1，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，
则OQ=FQ=t，PA=2t，∴QP=8－t－2t=8－3t，∴8－3t=t，解得：t=2， 如图2，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，
∵OQ=t，PA=2t，∴OP=8－2t，∴QP=t－（8－2t）=3t－8， ∴t=3t－8，解得：t=4；
（3）如图1，当Q在P点的左边时， ∵OQ=t，PA=2t，∴QP=8－t－2t=8－3t， 当t=－
=时，
S矩形PEFQ的最大值为：
如图2，当Q在P点的右边时，
∵OQ=t，PA=2t，∴QP=t－（8－2t）=3t－8， ∴S矩形PEFQ=QP?QE=（3t－8）?t=3t2－8t，
=4，
∵当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动，∴0≤t≤4， 当t=－
=时，S矩形PEFQ的最小，
∴t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：3×42－8×4=16， 综上所述，当t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：16．
点评：此题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，得出P，Q不同的位置进行分类讨论得出是解题关键．
4．（2013·潍坊，24，13分）如图，抛物线y?ax2?bx?c关于直线x?1对称，与坐标轴交于A、B、C三点，且AB?4，点D?2，?在抛物线上，直线是一次函数
??3?2?y?kx?2?k?0?的图象，点O是坐标原点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线平分四边形OBDC的面积，求k的值．
（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于M、N两点，问在y轴正半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
答案：（1）因为抛物线关于直线x＝1对称，AB＝4，所以A(－1，0)，B(3，0)，
由点D(2，1．5)在抛物线上，所以?又??a?b?c?0，所以3a＋3b＝1．5，即a＋b＝0．5，
?4a?2b?c?1.5b?1，即b＝－2a，代入上式解得a＝－0．5，b＝1，从而c＝1．5，所以2a13y??x2?x?．
22
123x?x?，令x＝0，得c(0，1．5)，所以CD//AB， 2273,)， 令kx－2＝1．5，得l与CD的交点F(
2k22令kx－2＝0，得l与x轴的交点E(,0)，
k（2）由（1）知y??根据S四边形OEFC＝S四边形EBDF得：OE＋CF＝DF＋BE，
272711??(3?)?(2?),解得k?, k2kk2k512312（3）由（1）知y??x?x???(x?1)?2,
222即
所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为y??12x 2
假设在y轴上存在一点P(0，t)，t＞0，使直线PM与PN关于y轴对称，过点M、N分别向y轴作垂线MM1、NN1，垂足分别为M1、N1，因为∠MPO＝∠NPO，所以Rt△MPM1∽Rt△NPN1， 所以
MM1PM1?，………………(1) NN1PN1?xMt?yM?，又yM ＝k xM－2， yN＝k xN－2， xNt?yN不妨设M(xM，yM)在点N(xN，yN)的左侧，因为P点在y轴正半轴上， 则（1）式变为