P(B)?P(AB)P(A|B)?1/121/2?16，
141611213所以 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)????．
15. 若P(A|B)?P(A|B)，试证P(B|A)?P(B|A)． 证明?由P(A|B)?P(A|B)，得 ??????P(A|B)?P(AB)P(B)P(A)?P(AB)1?P(B)?P(A|B)?
所以得??P(AB)?P(B)P(AB)?P(A)P(B)?P(B)P(AB)， 即???P(AB)?P(A)P(B)．
所以??P(AB)?P(A)P(AB)?P(A)P(B)?P(A)P(AB)， 即???P(AB)P(A)?P(A)P(BA)，
P(AB)P(A)P(BA)P(A)由此得???，
即????P(B|A)?P(B|A)．
16. 四个学生证混放在一起，现将其随意发给这四名学生，求事件＂没有一个学生拿到自己的学生证＂的概率p．
解?设A?＂没有一个学生拿到自己的学生证＂，直接计算P(A)很困难，所以，先计算A的概率．
??设Ai?＂第i个学生拿到的是自己的学生证＂(i?1,2,3,4)，则 ???P(Ai)?14(i?1,2,3,4)，
111??(i?j)， 4312???P(AiAj)?P(Ai)P(Aj|Ai)? 36
? P(AiAjAk)?P(Ai)P(Aj|Ai)P(Ak|AiAj)?（i,j,k互不相等），
1111 ???43224P(A1A2A3A4)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)?1111． ???1?43224
又A?A1?A2?A3?A4，所以，由加法公式则得
P(A)?P(A1?A2＋A3?A4)?4?14?C4?582112??C4?383124?124?58，
于是得????p?P(A)?1?P(A)?1?．
17. 甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两次为止，此人即为冠军，而每次比赛双方取胜的概率都是
12，现假定甲、乙两人先比，试求各人得冠军的概率．
解?记事件A,B,C分别为＂甲、乙、丙获得冠军＂，事件Ai,Bi,Ci分别为＂第i局中?甲、乙、丙获胜＂，则
?P(A)?[P(A1A2)?P(A1C2B3A4A5)?P(A1C2B3A4C5B6A7A8)??] ?????[P(B1C2A3A4)?P(B1C2A3B4C5A6A7)??] ????(??) 2584722222111111(1?3?6??) ????(1?3?6??)?4162222???111??)?(11????516(11?18)?514．
因为甲、乙两人所处地位是对称的，所以P(B)?P(A)?由此又可得P(C)?1?P(A)?P(B)?414?27514．
．
37
18. 设0?P(B)?1，试证事件A与B独立的充要条件是 ??????????P(A|B)?P(A|B)．?
证明 先证必要性：因为A与B独立，所以A与B独立，由此得
P(A|B)?P(A)?P(A|B)．
再证充分性：由P(A|B)?P(A|B)可得
P(AB)P(B)?P(AB)P(B)，即
P(AB)(1?P(B))?P(B)(P(A)?P(AB))，
由此得 P(AB)?P(A)P(B)，所以A与B独立．
19. 设有来自三个地区的各10名、15名、25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份、5份．随机地抽取一个地区的报名表，从中先后抽出两份． ?
(1求先抽取的一份是女生表的概率p；
? (2)已知后抽到的一份是男生表，求先抽取的一份是女生表的概率q． 解?设Ai?｛报名表是取自第i个地区的考生｝(i?1,2,3)，则A1,A2,A3构成完备事件组，且P(Ai)?生表｝(j?1,2)，则 ???P(B1|A1)?31013(i?1,2,3)．设Bj?｛第j次抽到的是女
，?P(B1|A2)?2990715，??P(B1|A3)?525．
?(1)由全概率公式即可得??p?．
P(B1B2)P(B2)?(2)由条件概率公式得???q?P(B1|B2)?，
38
3由全概率公式得???P(B1B2)??P(A)P(Bii?11B2|Ai)
?????????
?131041(3??????
?79?71514?8?525?2024)???
2090，
同理可得??????P(B1B2)?，
从而可得??????于是得???????
90P(B)?P(B)?P(B6121B21B2)?90，
20q?P(B)901|B2)?P(B1B2P(B?202)61?61． 9039