§6 距离的计算
[对应学生用书P40]
点到直线的距离
如图，设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点．如图，作AA′⊥l，垂足为A′.
问题1：点A到直线l的距离与线段AA′的长度有何关系？ 提示：相等．
问题2：若s0为s的单位向量，你能得出PA在s上的投影长吗？
|PA·s||PA·s|提示：向量PA在s上的投影长为|PA||cos〈PA，s〉|＝|PA|·＝|s||PA||s|＝|PA·|＝|PA·s0|.
|s|
问题3：设点A到直线l的距离为d，你能根据问题2的答案写出d的表达式吗？ 提示：d＝|AA′|＝ |PA|－|PA·s0|.
2
2
s
点到直线的距离
设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点，向量PA在s上的投影的大小为|PA·s0|，则点A到直线l的距离d＝ |PA|－|PA·s0|.
2
2
点到平面的距离
如图，设π是过点P垂直于向量n的平面，A是平面π外一定点．作
AA′⊥π，垂足为A′.
问题1：点A到平面π的距离d与线段AA′的长度有何关系？ 提示：相等．
问题2：n0是n的单位向量，则向量PA在向量n上的投影大小是什么？与|AA′|相等
1
吗？
提示：|PA·n0|，相等．
点到平面的距离
设n为过点P的平面的一个法向量，A是该平面外一定点，向量PA在n上的投影的大小为|PA·n0|，则点A到该平面的距离d＝|PA·n0|.
1．用向量法求点到直线的距离，在直线上选点时，可视情况灵活选择，原则是便于计算，s0是s的单位向量， s0＝.
|s|
2．用向量法求点到平面的距离，关键是找到平面的法向量和平面的斜线段的方向向量．
[对应学生用书P40]
s 点到直线的距离
[例1] 如图，在空间直角坐标系中，有长方体ABCD－A′B′C′D′，
AB＝2，BC＝3，AA′＝4，求点B到直线A′C的距离．
[思路点拨] 用点到直线的距离公式计算点B到直线A′C的距离
D.
[精解详析] 因为AB＝2，BC＝3，AA′＝4， 所以B(2,0,0)，C(2,3,0)，A′(0,0,4)．
CA?＝(0,0,4)－(2,3,0)＝(－2，－3,4)． CB＝(2,0,0)－(2,3,0)＝(0，－3,0)．
所以CB在CA?上的投影：
CB·
CA?＝(0，－3,0)·
|CA?|
－2，－3，－
2＋－
2＋4
2 ＝(0，－3,0)·?＝0×
－229
?－2，－3，4??
2929??29
－329＋0×429＝929；
＋(－3)×
2
所以点B到直线A′C的距离为
d＝ |CB|－|CB·|
|CA?|
2
2
CA?＝ 3－?
2
?9?26145
?＝29. ?29?
[一点通]
1．用向量法求直线外一点A到直线l的距离的步骤 (1)确定直线l的方向向量s及s0； (2)在l上找一点P，计算PA的长度； (3)计算PA·s0的值；
(4)由公式d＝ |PA|－|PA·s0|求解．
2
2
2．用向量法求点到直线的距离的好处在于回避了用直接法求距离的难点(即过A1点作l的垂线，难在垂足的位置的确定)．
1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则点A1与对角线BC1所在的直线间的距离为( )
A.
6
a 2
B．a D. 2
C.2a
a解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，B(a，a,0)，
C1(0，a，a)．
∴A1B＝(0，a，－a)，BC1＝(－a,0，a)． ∴|A1B|＝2a，|BC1|＝2a. ∴点A1到BC1的距离d ＝ ?A1B·BC1?
?2 |A1B|－?
?|BC|?
1??
2
＝ 1262
2a－a＝a.
22
答案：A
3
2．正方体A1B1C1D1－ABCD中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到EF的距离． 解：以D点为原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图．
设DA＝2，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1，0,2)，则EF＝(1，－2,1)，FA＝(1,0，－2)，|EF|＝
1＋－
22＋1＝6，
2FA·EF＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1，
FA在EF上的投影长＝∴点A到EF的距离＝
|FA·EF||EF||FA|－?
2
＝16
.
29174＝. 66
?1?2
?＝ ?6?
求点到平面的距离
[例2] 如图，已知△ABC是以∠ABC为直角的直角三角形，SA⊥平面ABC，SA＝BC＝2，AB＝4，M，N，D分别是SC，AB，BC的中点，求A到平面SND的距离．
[思路点拨] 建立空间直角坐标系，用向量法求点到面的距离． [精解详析] 建立如图所示的空间直角坐标系，则N(0,2,0)，
S(0,0,2)，D(－1,4,0)，
∴NS＝(0，－2,2)，SD＝(－1,4，－2)．设平面SND的法向量为n＝(x，y,1)．
∴n·NS＝0，n·SD＝0，
??－2y＋2＝0，∴?
?－x＋4y－2＝0.?
??x＝2
∴?
?y＝1，?
∴n＝(2,1,1)．∵AS＝(0,0,2)．
4
|n·AS|26
∴A到平面SND的距离为＝＝. |n|63[一点通]
用向量法求平面π外一点A到平面的距离的步骤： (1)计算平面π的法向量n及n0； (2)在平面π上找一点P，计算PA； (3)由公式计算d＝|PA·n0|.
利用这种方法求点到平面的距离，不必作出垂线段，只需求出垂线段对应的向量和平面的法向量，代入公式求解即可．
3．已知PD⊥正方形ABCD所在平面，PD＝AD＝1，则C到平面PAB的距离d＝( ) A．1 C.
2
2
B.2 D.3 2
解析：以D为原点，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，
∴AP＝(－1,0,1)，AB＝(0,1,0)，AC＝(－1,1,0)， 设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，
?n·AP＝0，∴?
?n·AB＝0，
?－x＋z＝0，?即???y＝0，
令x＝1，则z＝1，∴n＝(1,0,1)． |AC·n||－1|2
∴d＝＝＝. |n|22答案：C
4．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为________．. 解析：建立如图所示的空间直角坐标系．
A(0,0,0)，B(3，1,0)，C(0,2,0)，
A1(0,0,1)，∴A1B＝(3，1，－1)，A1C＝(0,2，－1)．
设平面A1BC的法向量n＝(x，y，z)，
5