??n·A1B＝0，则???n·A1C＝0，
??x＝3y，
3即???z＝2y，
令y＝3，则
n＝(3，3,6)，n0＝?，?1?433?，?. 42?
3
. 2
又AA1＝(0,0,1)，∴d＝|AA1·n0|＝答案：
3 2
5.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离．
解：建立空间直角坐标系如图， 则A(2,0,0)，E(0,2,1)，
F(1,0,2)，G(2,1,0)，
∴AG＝(0,1,0)，
GE＝(－2,1,1)， GF＝(－1，－1,2)．
设n＝(x，y，z)是平面GEF的法向量， 点A到平面EFG的距离为d，
?n·GE＝0，则?
?n·GF＝0.
??x＝z，∴?
?y＝z.?
??－2x＋y＋z＝0，
∴?
?－x－y＋2z＝0，?
令z＝1， 则n＝(1,1,1)，
|AG·n|13∴d＝＝＝.
|n|33即点A到平面EFG的距离为
3
. 3
6
1．空间距离包括：点到点、点到线、点到面、线到线、线到面、面到面之间的距离．其中以点到面的距离最为重要，其他距离，如线到面、面到面的距离均可转化为点到面的距离．
2．空间一点A到直线l的距离的算法：
3．空间一点A到平面π的距离的算法：
[对应课时跟踪训练十三
1．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(2，－1,0)在α内，则P(1,3，－2)到α的距离为( )
A．10 8
C. 3
B．3 D.10 3
解析：PA＝(1，－4,2)，又平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，所以P到α|PA·n||－2＋8＋2|8
的距离为＝＝. n33
答案：C
1
2．正方体ABCD －A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且AM＝MC1，N为B1B的中
2点，则|MN|为( )
A.
21a 6
B.6a 6
7
C.
15a 6
D.
15a 3
解析：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N?a，a，?.
2??设M(x，y，z)．
1
∵点M在AC1上且AM＝MC1.
21
∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)，
22aa?2aaa?∴x＝a，y＝，z＝.于是M?，，?. 333?333?∴|MN| ＝ ＝
?
a??a－2a?2＋?a－a?2＋?a－a?2 ?3??3??23???????
21a. 6
答案：A
3.如图，P－ABCD是正四棱锥，ABCD－A1B1C1D1是正方体，其中AB＝2，
PA＝6，则B1到平面PAD的距离为( )
A．6 C.65
5
B.D.35
532
2
解析：以A1B1为x轴，A1D1为y轴，A1A为z轴建立空间直角坐标系，设平面PAD的法向量是n＝(x，y，z)，由题意知，B1(2,0,0)，A(0,0,2)，
D(0,2,2)，P(1,1,4)．AD＝(0,2,0)，AP＝(1,1,2)，
∴AD·n＝0，且AP·n＝0.
∴y＝0，x＋y＋2z＝0，取z＝1，得n＝(－2,0,1)．
|B1A·n|65∵B1A＝(－2,0,2)，∴B1到平面PAD的距离d＝＝.
|n|5答案：C
4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1
8
的距离为( )
8
A. 34
C. 3
解析：如图，建立空间直角坐标系，
3
B. 83D. 4
则D(0,0,0)，A(2,0,0)，A1(2,0,4)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)． ∴D1B1＝(2,2,0)，
D1A＝(2,0，－4)，AA1＝(0,0,4)，
设n＝(x，y，z)是平面AB1D1的一个法向量，
??n·D1B1＝0，
则n⊥D1B1，n⊥D1A，∴?
??n·D1A＝0，
??2x＋2y＝0，
即?
?2x－4z＝0.?
令z＝1，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．
|AA1·n|4
∴由AA1在n上射影可得A1到平面AB1D1的距离为d＝＝.
|n|3答案：C
5．如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A?
?31?，，0?，?22?
B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，
9
则C1A＝?
?31?
，，－1?，C1B1＝(0,1,0)，C1B＝(0,1，－1)，设平面ABC1的法向?22?
量为n＝(x，y,1)，
??C1A·n＝0
则有?
?? C1B·n＝0
则d＝|
，解得n＝?
?3?
，1，1?， ?3?
C1B1·n|n|
|＝21＝. 71
＋1＋13
1
答案：
21 7
6．如图所示，正方体的棱长为1，E，F，M，N分别是棱的中点，则平面A1EF与平面B1NMD1
的距离为________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
?1?F?1，1，1?，?0，1，1?，?1，1，1?. 则A1(1,0,0)，B1(1,1,0)，E?，0，1?，D(0,0,0)，MN??1?2??2?
?2??2?????
∵E，F，M，N分别是棱的中点， ∴MN∥EF，A1E∥B1N. ∴平面A1EF∥平面B1NMD1.
∴平面A1EF与平面B1NMD1的距离即为A1到平面B1NMD1的距离． 设平面B1NMD1的法向量为n＝(x，y，z)， ∴n·D1B1＝0，且n·B1N＝0.
?1?即(x，y，z)·(1,1,0)＝0，且(x，y，z)·?－，0，1?＝0.
?2?
1
∴x＋y＝0，且－x＋z＝0，
2令x＝2，则y＝－2，z＝1.
21??2
∴n＝(2，－2,1)，n0＝?，－，?.
33??3
10