∴A1到平面B1NMD1的距离为d＝|A1B1·n0| ＝?
??
，1，
?2，－2，1??＝2. ?3?33????3
2
答案： 3
7.如图，已知正方形ABCD，边长为1，过D作PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别是AB和BC的中点．求直线AC到平面PEF的距离．
解：由题意知直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离，以DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，
????P(0,0,1)，E?1，，0?，F?，1，0?，
22
?
?
?
?
11
?1??1?∴PE＝?1，，－1?，PF＝?，1，－1?. ?2??2?
?n·PE＝0，
设n＝(x，y，z)是平面PEF的一个法向量，则由?
?n·PF＝0，
yx＋－z＝0，??2?x??2＋y－z＝0.
得
3
令x＝1，则y＝1，z＝，
2
3??∴n＝?1，1，?.又∵AP＝(－1,0,1)， 2??3
－1×1＋0×1＋1×
2|AP·n|17
∴d＝＝＝.
|n|179
1＋1＋
4
8.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.求点C到平面AEC1F的距离．
11
解：建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,4,0)，
A(2,0,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3)．
设n为平面AEC1F的法向量，
显然n不垂直于平面ADF，故可设n＝(x，y,1)．
??n·AE＝0，由?
?n·EC1＝0，?
?4y＋1＝0，?即???－2x＋2＝0，
?0·x＋4·y＋1＝0，?
得???－2·x＋0·y＋2＝0，
x＝1，??
∴?1
y＝－.?4?
??n＝?1，－，1?.
4?
?
1
又CC1＝(0,0,3)． ∴C到平面AEC1F的距离为 |CC1·n|d＝＝|n|
433＝.
111
1＋＋1163
[对应学生用书P42]
一、空间向量的概念与运算
1．空间向量有关概念与平面向量的有关概念类似，对基本概念的理解要做到全面、准确、深入．
2．空间向量的运算包括加、减、数乘及数量积运算，其中加、减、数乘运算称为线性运算，结果仍为向量，加减算法可运用平行四边形法则与三角形法则进行运算；数量积运算结果为实数，运用数量积可解决长度、夹角与距离等问题．
二、向量的坐标表示与运算和空间向量基本定理
1．选定空间不共面的向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，是空间向量基本定
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理的具体体现．
2．空间向量的坐标表示与运算是解决立体几何中的夹角、长度、距离等问题的关键，要熟记公式．
三、空间向量与平行和垂直
利用空间向量解决空间中的位置关系的常用方法为： 1．线线平行：
证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． 2．线线垂直：
证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，利用a⊥b?a·b＝0. 3．线面平行：
用向量证明线面平行的方法主要有：
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直(需说明直线不在平面内)；
(2)证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量(需说明直线不在平面内)；
(3)利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量把直线的方向向量线性表示出来(需说明直线不在平面内)．
4．线面垂直：
用向量证明线面垂直的方法主要有：
(1)证明直线的方向向量与平面的法向量平行； (2)证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直． 5．面面平行：
(1)证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)； (2)证明一个平面内的两个不共线向量与另一平面平行． 6．面面垂直：
(1)证明两个平面的法向量互相垂直；
(2)证明一个平面内某直线的方向向量是另一平面的法向量． 四、空间向量与空间角
1．求两异面直线的夹角可利用公式cos〈a，b〉＝，但务必注意两异面直线|a|·|b|
a·b?π?夹角θ的范围是?0， ?，而两向量之间的夹角的范围是[0，π]．
2??
故实质上应有cos θ＝|cos〈a，b〉|.
13
2．求线面角：
求直线与平面的夹角时，一种方法是先求出直线及此直线在平面内的投影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面的夹角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面的夹角θ，其关系是sin θ＝|cos φ|.
3．求两平面间的夹角：
利用空间直角坐标系求得两个平面的法向量n1，n2，代入cos〈n1，n2〉＝当cos〈n1，n2〉>0时，两平面的夹角为〈n1，n2〉， 当cos〈n1，n2〉<0时，两平面的夹角为π－〈n1，n2〉． 五、空间距离的计算
主要掌握点到直线的距离与点到平面的距离，利用直线的方向向量与平面的法向量求解．
1．若直线l的方向向量为s，s0＝，点P是直线l上的点，点A是直线外任一点，
|s|则点A到直线l的距离d＝ |PA|－|PA·s0|.
2
2
n1·n2
|n1||n2|.
s2．若n0为平面α的单位法向量，点P是平面α内一点，点A是平面α外一点，则点A到该平面的距离d＝|PA·n0|.
?对应阶段质量检测二? ?? ? 见8开试卷?
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设a＝(x,4,3)，b＝(3,2，z)，若a∥b，则xz＝( ) A．－4 C．－9
B．9 D.64 9
x43
解析：∵a∥b，∴＝＝.
32z3
∴x＝6，z＝.∴xz＝9.
2答案：B
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2.如图所示，已知四面体ABCD，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，
AC的中点，则(AB＋BC＋CD)＝( )
A．BF C．HG
B．EH D．FG
12
111
解析：∵(AB＋BC＋CD)＝(AC＋CD)＝AD，
22211
又∵HG＝AD，∴(AB＋BC＋CD)＝HG.
22答案：C
3．P是△ABC所在平面上一点，若PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则P是△ABC的( )
A．外心 C．重心
B．内心 D．垂心
解析：∵PA·PB＝PB·PC＝PC·PA， ∴PB·(PA－PC)＝0， 即PB·CA＝0， ∴PB⊥CA.
同理PC·(PB－PA)＝0， ∴PC·AB＝0，∴PC⊥AB， ∴P是△ABC的垂心． 答案：D
4．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是( ) A.?
33??3
，，－? 33??3
B.?
33??3
，－，?
33??3
C.?－?
?333?，，? 333?
D.?－?
?333?，－，－? 333?
解析：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．则n·AB＝0，即(x，y，z)·(－1,1,0)＝0，
∴－x＋y＝0.
n·BC＝0，即(x，y，z)·(0，－1,1)＝0，
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