∴－y＋z＝0，
令x＝1，则y＝1，z＝1，∴n＝(1,1,1)，与n平行的单位向量为?333??
?－，－，－?.
33??3
答案：D
5．已知空间四个点A(1,1,1)，B(－4,0,2)，C(－3，－1,0)，D(－1,0,4)，则直线AD与平面ABC的夹角为( )
A．30° C．60°
B．45° D．90°
33??3
，，?或33??3
解析：设n＝(x，y,1)是平面ABC的一个法向量． ∵AB＝(－5，－1,1)，AC＝(－4，－2，－1)，
??－5x－y＋1＝0，
∴???－4x－2y－1＝0，
1
x＝，??2∴?3
y＝－??2，
3??1
∴n＝?，－，1?.
2??2
又AD＝(－2，－1,3)，设AD与平面ABC所成的角为θ， 7|AD·n|21
则sin θ＝＝＝，∴θ＝30°.
|AD||n|72答案：A
6．已知正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD夹角的余弦值为( )
1A. 3C.3 3
B.2 3
2D. 3
解析：建立如图所示的空间直角坐标系．
16
2??11
令正四棱锥的棱长为2，则A(1，－1,0)，D(－1，－1,0)，S(0,0，2)，E?，，?，
?222?2??13
AE＝?－，，?，SD＝(－1，－1，－2)，
?222?
AE·SD3
∴cos〈AE，SD〉＝＝－，
3|AE||SD|
∴AE、SD夹角的余弦值为答案：C
7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，
3
. 3
B1C1的中点，则异面直线EF与GH的夹角等于( )
A．45° C．90°
B．60° D．120°
解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图1??1?1??1???略)，设正方体棱长为1，则E?1，0，?，F?1，，0?，G?1，1，?，H?，1，1?， 2??2?2??2???
1?1??1?1
∴EF＝?0，，－?，GH＝?－，0，?，
2?2??2?2
1
＝－.
222
×221－4
cos〈EF·GH〉＝
∴EF与GH的夹角为60°. 答案：B
8．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD夹角的余弦值为( ) A.C.2 43 3
B.D.2 33 2
17
解析：以A为坐标原点，以AB，AD，AA1分别为x轴，y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则C1(1，1,1)，A1(0,0,1)，
B(1,0,0)，D(0,1,0)．
∵AC1＝(1,1,1)，BA1＝(－1,0,1)，BD＝(－1,1,0)， ∴AC1·BA1＝0，AC1·BD＝0， ∴AC1即为平面A1BD的法向量．
设BC1与面A1BD夹角为θ，又BC1＝(0,1,1)， |AC1·BC1|26
则sin θ＝＝＝，
3×23|AC1||BC1|∴cos θ＝答案：C
9．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是( )
A.C.6
a 63a 4
B.D.3a 66a 3
3. 3
解析：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
??D(0,0,0)，B(a，a,0)，M?a，0，a?，A1(a,0，a)．
?
1??∴DB＝(a，a,0)，DM＝?a，0，a?，
2??1?
A1M＝??0，0，－2a?.
??
设平面BDM的法向量为n＝(x，y，z)，则
1
2?
ax＋ay＝0，???1ax＋za＝0，?2?
x＋y＝0，??
即?1
x＋z＝0.??2
令z＝2，得x＝－1，y＝1. ∴n＝(－1,1,2)，∴n0＝?－
??6626?，，?. 666?
18
∴A1到平面BDM的距离为
d＝|A1M·n0|＝?－a×
答案：A
?1?2626?＝a. ?6?6
10．三棱锥O－ABC中，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若OG＝
xOA＋yOB＋zOC，则(x，y，z)为( )
?111?A.?，，? ?444??111?C.?，，? ?333?
?333?B.?，，? ?444??222?D.?，，? ?333?
33
解析：∵OG＝OG1＝(OA＋AG1)
44332?1
＝OA＋×?443?2
AB＋AC?
??
31
＝OA＋[(OB－OA)＋(OC－OA)] 44111
＝OA＋OB＋OC， 444而OG＝xOA＋yOB＋zOC， 111∴x＝，y＝，z＝.
444答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上)
11．已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，点F是侧面CDD′C′的中心，若AF＝AD＋xAB＋yAA?，则x－y＝________.
解析：如图，
11
∵AF＝AD＋DF，DF＝(DC＋DD?)＝(AB＋AA?)，
22
19
11
∴AF＝AD＋AB＋AA?，
22又AF＝AD＋xAB＋yAA?， 1111
∴x＝，y＝，即x－y＝－＝0.
2222答案：0
12．已知向量a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，则x的值为________． 解析：∵a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2， ∴－3×1＋2x＋5×(－1)＝2，∴x＝5. 答案：5
13．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则点E到平面ABC1D1
的距离是________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系， ∵正方体的棱长为1，
∴A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，C1(0,1,1)，
??D1(0,0,1)，E?1，，1?.
2
?
?
设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)．
∴n·AB＝0，且n·BC1＝0，即(x，y，z)·(0,1,0)＝0，且(x，y，z)·(－1,0,1)＝0.
∴y＝0，且－x＋z＝0，令x＝1，则z＝1， ∴n＝(1,0,1)． ∴n0＝?2??2?－1，1，0?，
EC?，又＝?，0，?2???2??2
1
∴点E到平面ABC1D1的距离为|EC?·n0| 1??222????
＝??－1，，0?·?，0，??＝. 2??22??2??
20