答案：
2 2
14. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则
AC1与平面A1B1C1D1的夹角的正弦值为________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(2,0,0)，C1(0,2,1)，A1(2,0,1)， ∴AC1＝(－2,2,1)，AA1＝(0,0,1)．
由长方体的性质知平面A1B1C1D1的法向量为AA1＝(0，0,1)． 11
∴cos〈AC1，AA1〉＝＝＝，
| AC1||AA1|3×131
∴AC1与平面A1B1C1D1的夹角的正弦值为.
31答案： 3
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,2)．求： (1)a·b；
(2)a与b夹角的余弦值；
(3)确定λ，μ的值使得λa＋μb与z轴垂直，且(λa＋μb)·(a＋b)＝77. 解：(1)a·b＝(3,5，－4)·(2,1,2)＝3×2＋5×1＋(－4)×2＝3. (2)∵|a|＝3＋5＋－|b|＝2＋1＋2＝3. ∴cos〈a，b〉＝
2222
2
2
AC1·AA1＝52，
a·b32
＝＝.
|a||b|52×310
(3)取z轴上的单位向量n＝(0,0,1)，a＋b＝(5,6，－2)．
21
??
依题意，得?
??
λa＋μbλa＋μbn＝0，
a＋b＝77，
＝0，
即?
??
??
λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋2μλ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋2μ
，0，，6，－
＝77，
?－4λ＋2μ＝0，?
化简整理，得?
??53λ＋12μ＝77，
?λ＝1，?
解得?
??μ＝2.
16．(本小题满分12分)四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是一个平行四边形，AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)，AP＝(－1,2，－1)．
(1)求证：PA⊥底面ABCD； (2)求四棱锥P－ABCD的体积．
解：(1)证明：∵AP·AB＝－2－2＋4＝0， ∴AP⊥AB.又∵AP·AD＝－4＋4＋0＝0， ∴AP⊥AD.∵AB，AD是底面ABCD上的两条相交直线， ∴AP⊥底面ABCD.
(2)设AB与AD的夹角为θ，
AB·AD则cos θ＝
|AB||AD|
＝
3＝.
4＋1＋16×16＋410513
8－2
V＝|AB|·|AD|·sin θ·|AP|
＝
2
105× 3
9
1－×1＋4＋1＝16. 105
17．(本小题满分12分)如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝
CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．
(1)求A1到平面BCN的距离； (2)求证：A1B⊥C1M.
解：如图，建立空间直角坐标系．
(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，A1(1,0,2)，B1(0,1,2)， ∴BA1＝(1，－1,2)，CB1＝(0,1,2)，BA1·CB1＝3，|BA1|
22
＝6，|CB1|＝5，
30
∴cos〈BA1，CB1〉＝＝. 10|BA1||CB1|
设平面BCN的一个法向量为n＝(x，y，z)，BN＝(1，－1，1)，CB＝(0,1,0)，得
??x－y＋z＝0，
?
?y＝0，?
BA1·CB1
取x＝1，得n＝(1,0，－1)．n0＝?
22
－2|＝. 22
2??2
，0，－?，则A1到平面BCN的距
2??2
离为d＝|BA1·n0|＝|
11??(2)证明：依题意得C1(0,0,2)，M?，，2?，
?22?11?
A1B＝(－1,1，－2)，C1M＝??2，2，0?.
??11
∵A1B·C1M＝－＋＋0＝0，
22∴A1B⊥C1M.∴A1B⊥C1M.
18．(本小题满分14分)如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝2，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图②所示的四棱锥A′-BCDE，其中A′O＝3.
(1)证明：A′O⊥平面BCDE；
(2)求平面A′CD与平面BCD的夹角的余弦值．
解：(1)证明：在折叠前的图形中，在等腰直角三角形ABC中，因为BC＝6，O为BC的中点，所以AC＝AB＝32，OC＝OB＝3.
如图，连接OD，在△OCD中，由余弦定理可得
OD＝ OC2＋CD2－2OC·CDcos 45°＝5.
23
在折叠后的图形中，因为A′D＝22， 所以A′O＋OD＝A′D，所以A′O⊥O D. 同理可证A′O⊥OE.又OD∩OE＝O， 所以A′O⊥平面BCDE.
(2)以点O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz，如图所示， 则A′(0,0，3)，C(0，－3,0)，D(1，－2,0)，所以OA?＝(0,0，3)，CA?＝(0,3，3)，DA?＝(－1,2，3)．设n＝(x，y，z)为平面A′CD的一个法向量，
2
2
2
?n·CA?＝3y＋3z＝0.则?
?n·DA?＝－x＋2y＋3z＝0.
令z＝3，得n＝(1，－1，3)，|n|＝1＋1＋3＝5. 由(1)知，OA?＝(0,0，3)为平面CDB的一个法向量， 又|OA?|＝3，OA?·n＝0×1＋0×(－1)＋3×3＝3，
n·OA?315
所以cos 〈n，OA?〉＝＝＝，
53×5|n||OA?|
15
即平面A′CD与平面BCD的夹角的余弦值为5.
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