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24、如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF∥平面ABCD，EF=1，FB=FC，∠BFC=90°，AE=
．
(1)求证：AB⊥平面BCF；
(2)求直线AE与平面BDE所成角的正切值．
25、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PD=DC，E，F分别是AB，PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)在平面PAD内求一点G，使FG⊥平面PCB，并证明你的结论； (3)求三棱锥B﹣DEF的体积．
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26、已知正方形ADEF所在平面与等腰梯形BCEF所在平面互相垂直，且BC=2BF=2EF=4，G为BC中点． (1)求证：AB∥平面DFG； (2)求证：FG⊥平面BDE； (3)求该多面体体积．
27、在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1=2，A1A=4，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证： (1)平面ADE⊥平面BCC1B1； (2)直线A1F∥平面ADE；
(3)若B1C1=2，求三棱锥F﹣ADE的体积．
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答案解析部分
一、单选题
1、【答案】D 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系
α，∴①错误．当m∥α，α⊥β，m与β【解析】【解答】解：当m⊥n，m⊥α时，除了n∥α外，还有可能是n?β，∴②错误． 的关系并不能确定，如右图，还可能出现m?
α，∴③错误 当m⊥β，α⊥β，除了m∥α外，还有可能m?
α或n∥α，又∵n⊥β，∴α⊥β，④正确 当m⊥n，m⊥α时，n?故选：D．
【分析】利用空间直线与平面的位置关系，逐一判断．①考虑到n除了平行于α外，还有可能在α内，②画出不成立的情况说明．③除了m平行于α外，还有可能在α内，④利用两平面垂直的判定定理证明． 二、填空题
2、【答案】③④ 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：∵A、M、C、C1四点不共面 ∴直线AM与CC1是异面直线，故①错误； 同理，直线AM与BN也是异面直线，故②错误． 同理，直线BN与MB1是异面直线，故③正确； 同理，直线AM与DD1是异面直线，故④正确； 故答案为：③④
【分析】根据正方体的几何特征，结合已知中的图形，我们易判断出已知四个结论中的两条线段的四个端点是否共面，若四点共面，则直线可能平行或相交，反之则一定是异面直线． 三、解答题
3、【答案】（I）证明：如图所示，取AF的中点Q，连接PQ，QE．
又P为AD中点，∴PQ∥FD，PQ= 又CE∥DF，EC=
FD．∴PQ
FD，
EC，∴四边形CEQP是平行四边形，∴CP∥EQ，又CP?平面AEF，EQ?平面AEF，
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∴CP∥平面AEF．
（II）解：设点F到平面ACD的距离为h． 取FD的中点M，则EC
FM，∴四边形CEFM是平行四边形，又EF⊥FD，EF=FM=2，
∴四边形CEMF是正方形，∴CM=FM=MD=2， ∴CD⊥CF，
又∵AF⊥平面CEFD，∴CD⊥AC． S△ACD=
AC?CD=
×2=
．
由VA﹣CDF=VF﹣ACD， ∴
×AF=
×h，
∴h= = ．
【考点】直线与平面平行的判定，点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（I）如图所示，取AF的中点Q，连接PQ，QE．利用三角形中位线定理可得：PQ∥FD，PQ= EC= 又CE∥DF，
FD，
FD．可得四边形CEQP是平行四边形，于是CP∥EQ，利用线面平行的判定定理可得CP∥平面AEF（．II）
FM，利用正方形的判定定理可得四边形CEMF是正方形，
设点F到平面ACD的距离为h．取FD的中点M，则EC
可得CD⊥CF，利用三垂线定理可得：CD⊥AC．利用VA﹣CDF=VF﹣ACD，即可得出． 4、【答案】证明：（Ⅰ）因为F，G分别为BP，BE的中点，所以FG∥PE． 又因为FG?平面PED，PE?平面PED， 所以，FG∥平面PED， 同理FH∥BC， 又BC∥AD， 所以FH∥平面PDE
而FG∩FH=F，故平面FGH∥平面PDE （Ⅱ）因为EA⊥平面ABCD， 所以EA⊥CB．
又因为CB⊥AB，AB∩AE=A， 所以CB⊥平面ABE．
由已知F，H分别为线段PB，PC的中点， 所以FH∥BC，则FH⊥平面ABE． 而FH?平面FGH， 所以平面FGH⊥平面ABE．
（Ⅲ）在线段PC上存在一点M，使PB⊥平面EFM． 证明如下：
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在直角三角形AEB中，因为AE=1，AB=2， 所以BE=
．
在直角梯形EADP中，因为AE=1，AD=PD=2， 所以PE= 所以PE=BE．
又因为F为PB的中点， 所以EF⊥PB．
要使PB⊥平面EFM，只需使PB⊥FM． 因为PD⊥平面ABCD， 所以PD⊥CB，
又因为CB⊥CD，PD∩CD=D， 所以CB⊥平面PCD， 而PC?平面PCD， 所以CB⊥PC．
若PB⊥FM，则△PFM∽△PCB，可得PM：PB=PF：PC． 由已知可求得PB=2
，PF=
，PC=2
，
，
所以PM=
【考点】平面与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（Ⅰ）利用三角形的中位线的性质证明FG∥PE，再根据直线和平面平行的判定定理证得结论．（Ⅱ）先证明EA⊥CB、CB⊥AB，可得CB⊥平面ABE．再根据FH∥BC，则FH⊥平面ABE．（Ⅲ）在线段PC上存在一点M，满足条件．先证明PE=BE，根据F为PB的中点，可得EF⊥PB．要使PB⊥平面EFM，只需使PB⊥FM即可．此时，则△PFM∽△PCB，根据对应边成比列求得PB、PF、PC的值，可得PM的值 四、综合题
5、【答案】（1）证明：如图，连接OQ，因为AB∥CD，AB=2 CD， 所以AO=2OC，又PQ=2QC， 所以PA∥OQ，
又OQ?平面QBD，PA?平面QBD， 所以PA∥平面QBD
（2）证明：在平面PAD内过P作PH⊥AD于H，因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD， PH?平面PAD，所以PH⊥平面ABCD
又BD?平面ABCD，所以PH⊥BD，又PA⊥BD，
且PA和PH是平面PAD内的两条相交直线，所以BD⊥平面PAD， 又AD?平面PAD，所以BD⊥AD．
【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）连接OQ，可得PA∥OQ，即可证得PA∥平面QBD．