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（2）证明：∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱， ∴AA1⊥平面A1B1C1， ∴AA1⊥A1C1， 又∵A1C1⊥A1B1且AA1∩A1B1=A1， AA1， A1B1?平面AA1B1B， ∴A1C1⊥平面AA1B1B，
又A1C1∥AC∥DE，∴DE⊥平面AA1B1B， 又∵A1F?平面AA1B1B，∴DE⊥A1F
又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE，B1D?平面B1DE， ∴A1F⊥平面B1DE，
A1C1F，∴平面B1DE⊥平面A1C1F 又∵A1F?
【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）推导出DE∥AC，从而DE∥A1C1，由此能证明DE∥平面A1C1F．（2）推导出AA1⊥A1C1，从而A1C1⊥平面AA1B1B，进而DE⊥平面AA1B1B，再由DE⊥A1F，得A1F⊥平面B1DE，由此能证明平面B1DE⊥平面A1C1F．
16、【答案】（1）解：在四棱锥P﹣ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD， ∴PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，∴∠APB是PB与平面PAD所成的角， 在Rt△PAB中，AB=PA，∴∠APB=45°， ∴PB和平面PAD所成的角的大小为45°
（2）证明：在四棱锥P﹣ABCD中， ∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA， 由条件AC⊥CD，PA⊥底面ABCD，利用三垂线定理得CD⊥PC，PA∩AC=A， ∴CD⊥面PAC，
又AE?面PAC，∴AE⊥CD，
由PA=AB=BC，∠ABC=60°，得AC=PA， ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC， 又PC∩CD=C， 综上，AE⊥平面PCD．
（3）解：过点E作EM⊥PD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD， ∴∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角，
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由已知得∠CAD=30°， 设AC=a，得PA=a，AD=
，PD=
，AE=
，
在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM?PD=PA?AD，
∴AM= = ，
在Rt△AEM中，sin∠AME= ．
∴二面角A﹣PD﹣C得到正弦值为．
【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）由线面垂直得PA⊥PB，又AB⊥AD，从而AB⊥平面PAD，进而∠APB是PB与平面PAD所成的角，由此能求出PB和平面PAD所成的角的大小．（2）由线面垂直得CD⊥PA，由条件CD⊥PC，得CD⊥面PAC，由等腰三角形得AE⊥PC，由此能证明AE⊥平面PCD．（3）过点E作EM⊥PD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD，由此得∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣PD﹣C得到正弦值． 17、【答案】（1）证明：∵BG∥AF，BG?平面ADEF，AF?平面ADEF， ∴BG∥平面ADEF； 同理，BC∥平面ADEF． 又∵BG∩BC=B，
∴平面BCG∥平面ADEF， ∴CG∥平面ADEF
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（2）证明：如图，连接FG，GO，EQ，AC，AR，SD．
∵GO∥SD，平面EPQ∥平面RAC，在正方体中FSTR﹣ABCD中，显然体对角SD线∥平面RAC， ∴GO⊥平面EPQ．
【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）欲证明CG∥平面ADEF，只需推知平面BCG∥平面ADEF即可．（2）如图，通过作辅助线构建正方体，结合正方体的性质进行证明即可．
18、【答案】（1）解：∵M，N分别是AC，AD的中点，∴MN∥CD． ∴∠BCD是直线MN与BC所成的角． 又∵BC⊥CD，
直线MN与BC所成的角为90°
（2）解：证明：∵AB⊥平面BCD，CD?面BCD， ∴AB⊥CD． 而BC⊥CD，AB∩BC=B， ∴CD⊥面ABC． 又∵CD?面ACD，
平面ACD⊥平面ABC
【考点】异面直线及其所成的角，平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）利用三角形中位线定理可得MN∥CD，因此∠BCD是直线MN与BC所成的角．即可得出．（2）由AB⊥平面BCD，可得AB⊥CD．而BC⊥CD，可得CD⊥面ABC．即可证明． 19、【答案】（1）证明：连接A1B交AB1于E，由题意知E是A1B中点， ∵点D是BC的中点，∴在△A1CB中ED是三角形的中位线， ∴ED∥A1C，
∵ED?平面AB1D，A1C不包含于平面AB1D， ∴A1C∥平面AB1D
（2）证明：∵BC=BB1， ∴A1B1BA是菱形，∴AB1⊥A1B，连结EM，AM，B1M，BM，A1M， ∵E是AB1中点，M是CC1中点， ∴EM⊥平面A1B1BA，∴A1C⊥EM， ∴A1C⊥平面A1BM，
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∵MB?平面A1BM，∴MB⊥AB1
【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）连接A1B交AB1于E，从而得到ED是三角形的中位线，由此能证明A1C∥平面AB1D．（2）由BC=BB1，得AB1⊥A1B，连结EM，得EM⊥平面A1B1BA，从而得到A1C⊥EM，进而得到A1C⊥平面A1BM，由此能证明MB⊥AB1．
20、【答案】（1）证明：∵E、G分别为SA、SC的中点， ∴EF、EG分别是△SAB、△SAC的中位线，可得EF∥AB且EG∥AC．
∵EF?平面ABC，AB?平面ABC，
∴EF∥平面ABC，同理可得EG∥平面ABC 又∵EF、EG是平面EFG内的相交直线， ∴平面EFG∥平面ABC
（2）证明：连接AF，CF， ∵AS=AB，CS=CB， ∴SB⊥AF，SB⊥FC， ∵AF∩CF=F， ∴SB⊥平面AFC， ∵AC?平面AFC，
∴SB⊥AC
【考点】平面与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）证明EF∥平面ABC，EG∥平面ABC，即可证明平面EFG∥平面ABC；（2）连接AF，CF，转化证明SB⊥平面AFC，即可得证SB⊥AC．
21、【答案】（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，CE⊥平面ABCD，∴EC∥PD，又PD?平面PDA，EC?平面PDA，
∴EC∥平面PDA， ∵四边形ABCD为正方形，
∴BC∥AD，又AD?平面PDA，BC?平面PDA， ∴BC∥平面PDA，
∵EC?平面EBC，BC?平面EBC，EC∩BC=C， ∴平面EBC∥平面PDA．
∵四边形ABCD为正方形，∴O为BD的中点，（2）证明：设AC与BD相交于点O，连接NO，又N为PB的中点， ∴NO∥PD且NO=
PD，
，
又由（1）得EC∥PD，且
∴NO∥EC且NO=EC，∴四边形NOCE为平行四边形，
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∴NE∥OC，即NE∥A，C
∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PD， 又DB⊥AC，PD∩BD=D ∴AC⊥平面PBD，又NE∥AC， ∴NE⊥平面PDB．
【考点】平面与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）由线面垂直性质得EC∥PD，由四边形ABCD为正方形，得BC∥AD，由此能证明平面EBC∥平面PDA．（2）推导出四边形NOCE为平行四边形，从而AC⊥PD，再由DB⊥AC，能证明NE⊥平面PDB． 22、【答案】（1）解：因为E为PA的中点，O为AC的中点，所以EO∥PC又EO?平面PCD，PC?平面PCD，所以EO∥平面PCD
同理可证，FO∥平面PCD，又EO∩FO=O 所以，平面EFO∥平面PCD
（2）解：因为PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又PA∩AC=A 所以BD⊥平面PAC
又BD?平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD 【考点】平面与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）由题意知，EO∥PC，由线面平行的判定定理得到EO∥平面PCD，同理可证，FO∥平面PCD，再由面面平行的判定定理，即得证平面EFO∥平面PCD．（2）由于PA⊥平面ABCD，得到PA⊥BD，再由已知得到BD⊥平面PAC，由面面垂直的判定定理，即得证平面PAC⊥平面PBD．
23、【答案】（1）证明：∵M，N分别为棱DD1， A1D1的中点，∴MN∥A1D， ∵A1D?平面A1DE，MN?平面A1DE，∴MN∥平面A1CD． ∵E是BC中点，N是A1D1的中点，∴A1N=CE，A1N∥CE， ∴四边形A1ECN是平行四边形，∴CN∥A1E， ∵A1E?平面A1DE，CN?平面A1DE，∴CN∥平面A1CD， 又∵MN∩CN=N，MN?平面MCN，CN?平面MCN， ∴平面CMN∥平面A1DE．
（2）证明：∵AA1⊥平面ABCD，DE?平面ABCD， ∴AA1⊥DE．
∵AB=1，AD=2，E为BC的中点， ∴
，
∴EA2+ED2=AD2，即AE⊥DE．
∵AA1?平面AA1E，AE?平面AA1E，AE∩AA1=A， ∴DE⊥平面A1AE．
又DE?平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面A1AE．
【考点】平面与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定
【解析】【分析】（I）由中位线定理可得MN∥A1D，由长方体的结构特征可得四边形A1ECN是平行四边形，故CN∥A1E，从而平面CMN∥平面A1DE；（2）由AA1⊥平面ABCD可得AA1⊥DE，由线段的长度可由勾股定理的逆定理得出AE⊥DE，故DE⊥平面A1AE，从而平面A1DE⊥平面A1AE．