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24、【答案】（1）证明：取AB的中点M，连接EM，则AM=MB=1， ∵EF∥平面ABCD，EF?平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB， ∴EF∥AB，即EF∥MB． ∵EF=MB=1
∴四边形EMBF是平行四边形． ∴EM∥FB，EM=FB．
222
在Rt△BFC中，FB+FC=BC=4，又FB=FC，得FB=
．
∴EM= ．
，AM=1，EM=
，
在△AEM中，AE= ∴AM2+EM2=3=AE2， ∴AM⊥EM．
∴AM⊥FB，即AB⊥FB． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB⊥BC．
∵FB∩BC=B，FB?平面BCF，BC?平面BCF， ∴AB⊥平面BCF．
（2）解：连接AC，AC与BD相交于点O，则点O是AC的中点，取BC的中点H，连接OH，EO，FH， 则OH∥AB，OH=
AB=1．
AB，
由（1）知EF∥AB，且EF= ∴EF∥OH，且EF=OH．
∴四边形EOHF是平行四边形． ∴E0∥FH，且EO=FH=1．
由（1）知AB⊥平面BCF，又FH?平面BCF， ∴FH⊥AB，
∵FH⊥BC，AB∩BC=B，FH?平面ABCD，BC平面ABCD， ∴FH⊥平面ABCD． ∴E0⊥平面ABCD． ∵AO?平面ABCD， ∴EO⊥AO．
∵AO⊥BD，EO∩BD=O，EO?平面EBD，BD平面EBD， ∴AO⊥平面EBD．
∴∠AEO是直线AE与平面BDE所成的角． 在Rt△AOE中，tan∠AEO=
=
．
．
∴直线AE与平面BDE所成角的正切值为
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【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）先证明出四边形EMBF是平行四边形，推断出EM∥FB，EM=FB．进而在Rt△BFC中求得EM，
222
在△AEM中，根据边长推断出AM+EM=3=AE，进而证明出AM⊥EM．然后证明出四边形ABCD是正方形，进而推
断出AB⊥BC．最后通过线面垂直的判定定理证明出AB⊥平面BCF．（2）先证明出∠AEO是直线AE与平面BDE所成的角，进而在Rt△AOE中，求得tan∠AEO．
25、【答案】（1）证明：（1）因为底面ABCD是的正方形，所以AD⊥DC．又PD⊥底面ABCD，所以PD⊥CD． 又AD∩PD=D，所以CD⊥平面PAD， 又PA?平面PAD，所以CD⊥PA．
因为E，F分别是AB，PB的中点，所以EF∥PA 所以EF⊥CD．
（2）解：当G为AD的中点时，FG⊥平面PCB．证明：设BD的中点为O，连接OF，OG，PG，GB． 因为O，F，G分别是BD，PB，AD的中点，所以FO∥PD，GO∥AB． 因为AB⊥BC，所以GO⊥BC，所以BC⊥平面GFO． 又GF?平面GFO，所以GF⊥BC． 因为PD=DC=2，所以
又F是PB的中点，所以GF⊥PB， 所以GF⊥平面PCB．
（3）解：∵PD⊥底面ABCD，O，F分别是DB，PB的中点， ∴FO⊥平面BDE，且FO= S△BDE=
=1，
PD=1，
．
∴三棱锥B﹣DEF的体积
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）推导出AD⊥DC，PD⊥CD，从而CD⊥平面PAD，进而CD⊥PA，再由EF∥PA，能证明EF⊥CD．（2）
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当G为AD的中点时，设BD的中点为O，连接OF，OG，PG，GB．推导出BC⊥平面GFO，从而GF⊥BC，推导出GF⊥PB，由此得到GF⊥平面PCB．（3）三棱锥B﹣DEF的体积VB﹣DEF=VF﹣BDE．由此能求出结果．
26、【答案】（1）证明：∵正方形ADEF所在平面与等腰梯形BCEF所在平面互相垂直，且BC=2BF=2EF=4，G为BC中点， ∴BG
AD，∴四边形BGDA是平行四边形，∴AB∥DG，
∵AB?平面DFG，DG?平面DFG， ∴AB∥平面DFG．
（2）∵正方形ADEF所在平面与等腰梯形BCEF所在平面互相垂直，且BC=2BF=2EF=4，G为BC中点， ∴BF=FG=BG=EF=2，∴∠BFE=120°，∠BFE=60°，
∴∠FBE=∠FEB=30°，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CE，∴FG⊥BE， ∵正方形ADEF所在平面与等腰梯形BCEF所在平面互相垂直， ∴FG⊥DE，
∵BE∩DE=E，∴FG⊥平面BDE．
（3）解：∵正方形ADEF所在平面与等腰梯形BCEF所在平面互相垂直，且BC=2BF=2EF=4，G为BC中点， ∴S梯形BCEF= S△ADF=
=3
，DE=2，
，
=2，B平面ADF的距离d=
∴该多面体体积： V=VD﹣BCEF+VB﹣ADF=
= = ．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）推导出四边形BGDA是平行四边形，从而AB∥DG，由此能证明AB∥平面DFG．（2）推导出FG⊥BE，FG⊥DE，由此能证明FG⊥平面BDE．（3）该多面体体积V=VD﹣BCEF+VB﹣ADF，由此能求出结果． 27、【答案】（1）证明：∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，又AD?平面ABC，∴CC1⊥AD． 又∵AD⊥DE，CC1， DE?平面BCC1B1， CC1∩DE=E， ∴AD⊥平面BCC1B1．又AD?平面ADE， ∴平面ADE⊥平面BCC1B1；
（2）证明：∵A1B1=A1C1， F为B1C1的中点，∴A1F⊥B1C1． ∵CC1⊥平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1C1， ∴CC1⊥A1F．
又∵CC1， B1C1?平面BCC1B1， CC1∩B1C1=C1，
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∴A1F⊥平面BCC1B1．
由（1）知AD⊥平面BCC1B1， ∴A1F∥AD． 又AD?平面ADE，A1F?平面ADE，∴A1F∥平面ADE； （3）解：∵A1B1=A1C1=B1C1=2，∴AD=
，又A1A=4，∴
，
∴ ．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得CC1⊥平面ABC，进一步得CC1⊥AD．又AD⊥DE，由线面垂直的判定得AD⊥平面BCC1B1．再由面面垂直的判定得平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）由A1B1=A1C1， F为B1C1的中点，得A1F⊥B1C1．进一步得CC1⊥A1F．可得A1F⊥平面BCC1B1．结合（1）知AD⊥平面BCC1B1，得A1F∥AD．再由线面平行的判定定理得A1F∥平面ADE；（3）直接利用等积法把三棱锥F﹣ADE的体积转化为A﹣FDE的体积求解．