2010不等式
?2x?y?6?0,?1.（2010·安徽高考文科·Ｔ8）设x,y满足约束条件?x?2y?6?0,则目标函数z=x+y的最大值是（ ）
?y?0,?（A）3 （B） 4 （C） 6 （D）8 【命题立意】本题主要考查线性规划问题，考查考生的作图、运算求解能力。
【思路点拨】由约束条件画可行域?确定目标函数的最大值点?计算目标函数的最大值 【规范解答】选C．约束条件
?2x?y?6?0,??x?2y?6?0,?y?0,?表示的可行域是一个三角形区域，3个顶点分别
是(3,0),(6,0),(2,2)，目标函数z?x?y在(6,0)取最大值6，故C正确．
【方法技巧】解决线性规划问题，首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域），则区域中的某个端点使目标函数取得最大或最小值．
?x?1?2.（2010·福建高考文科·Ｔ5）若x,y?R，且?x?2y?3?0，则z?x?2y的最小值等于（ ）
?y?x?A.2 B.3 C.5 D.9
【命题立意】本题考查利用线性规划的方法求最值．
【思路点拨】先画出不等式组表示的线性区域，再作出直线l0:x?2y?0，平移l0，当其截距越小，z的值越小．
【规范解答】选B．不等式组所表示的平面区域如图阴影所示： 作
l0:x?2y?0，平移l0至A?1,1?点位置时，z取得最小值，?zmin?3．
【方法技巧】本题可以采用多种解法，有些解法一反常规， 颠覆视觉．
方法1（特殊点法）：因为直线x?1,x?2y?3?0,y?x分别 交于A?1,1?,B?3,3?,C?1,2?，当x?1,y?1时，z?x?2y?3； 当x?3,y?3时，z?x?2y?9；当x?1,y?2时，z?x?2y?5； 所以当x?1,y?1时，zmin?3，所以选 B．
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?x?1?方法2（反代入法）：z?x?2y，?x?z?2y，把x?z?2y代入?x?2y?3?0得：
?y?x???y??z?2y?1???z?2y?2y?3?0???y??y?z?2y????y??z?12?zz?1??z?3?32，??，?3?z?9，
zz?34???z4?33[来源:gkstkgkstk]
所以z?x?2y有最小值3．
方法3（向量法）：设Q(x,y),C(1,2),O(0,0)，则
z?OC?OQ?OCOQcos?POQ?5OQcos?POQ，OQcos?POQ表示的是OQ在
OC方向上的投影，所以当OQ在OA位置时取得最小值，
所以当x?1,y?1时，z?x?2y?3为最小值．故应选Ｂ． 3.（2010·浙江高考文科·Ｔ7）若实数x,y满足不等式组
?x?3y?3?0?合?2x?y?3?0，则x+y的最大值为（ ） ?x?y?1?0?（A）9 （B）
157 （C）1 （D） 715【命题立意】本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想， 属中档题．
【思路点拨】画出不等式组表示的平面区域，再利用图象求x?y的最大值． 【规范解答】选A．令
z?x?y，则y??x?z，z表示过可行
域内点斜率为-1的直线在y轴上的截距．由图可知当向上平移使它过A(4,5)时，
l0[来源:gkstk.Com]
zmax?9．
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yx?y?1?0A(4,5)2x?y?3?0xOx?3y?3?0l0:x?y?0 【方法技巧】（1）画可行域时：“直线定界、特殊点定域”；
（2）寻找目标函数的最值时，应先指明它的几何意义，这样才能找到相应的最值．
?x?y?3,4.（2010·天津高考文科·Ｔ2）设变量x，y满足约束条件??x?y??1,则目标函数z=4x+2y的最大值
??y?1,为（ ）
（A）12 （B）10 （C）8 （D）2
【命题立意】考查线性规划的意义，二元一次不等式的最值问题以及数形结合思想的应用． 【思路点拨】应用数形结合，画图分析求得最值．
【规范解答】选B．在同一个坐标系中，画出直线x?y??1,x?y?3,y?1的图像，作出可行域可知 直线y??2x平行移动到直线x?y?3与y?1的交点（2，1）处，目标函数z=4x+2y取的最大值10. 【方法技巧】 线性规划问题的关键是找准最优点，画图失误或求点失误是常见的失误点，解决最优解问题也将各个边界点代入验证，然后寻找合适点．
5.（2010·山东高考理科·Ｔ10）设变量x、y满足约束条件
??x?y?2?o,?x?5y?10?0,,则目标函数z=3x-4y的最大值和最小值分??x?y?8?0,别为（ ） （A）3，－11
（B）－3, －11 （C ）11, －3
（D）11,3
【命题立意】本题考查不等式中的线性规划知识及数形结合的数学思想、考查了考生的推理论证能力和运算求解能力.
【思路点拨】先画出不等式组所表示的平面区域，再求解.
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【规范解答】选A ．画出平面区域如图所示：可知当直线z=3x-4y平移到点（5，3）时，目标函数z=3x-4y取得最大值3；当直线平移到点（3，5）时，目标函数z=3x-4y取得最小值-11，故选A.
?x?3y?3?0,?6.（2010·浙江高考理科·Ｔ7）若实数x，y满足不等式组?2x?y?3?0,且x?y的最大值为9，
?x?my?1?0,?则实数m?（ ）
（A）?2 （B）?1 （C）1 （D）2 【命题立意】本题考查线性规划的相关知识，考查数形结合思想． 【思路点拨】画出平面区域，利用x?y的最大值为9，确定区域的边界．
【规范解答】选C．令z?x?y，则y??x?z，z表示斜率为-1的直线在y轴上的截距． 当z最大值为9时，y??x?z过点A，因此x?my?1?0过点A，所以m?1．
yA(4,5)x?my?1?02x?y?3?01O32123(,)773y??xxx?3y?3?0?3
【方法技巧】画平面区域时“直线定界、特殊点定域”．
?x?y?11?0?x7.（2010·北京高考理科·Ｔ7）设不等式组?3x?y?3?0表示的平面区域为D，若指数函数y=a的图
?5x?3y?9?0?像上存在区域D上的点，则a 的取值范围是（ ）
（A）(1,3] (B )[2,3] (C) (1,2] (D)[ 3, ??] 【命题立意】本题考查平面区域，指数函数的相关知识． 【思路点拨】画出平面区域D，再观察y?a的图象．
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xA(2,9)y?a【规范解答】选A．区域D如图所示，其中．当恰过点A时，a?3．
因此当1?a?3时，y?a的图像上存在区域D上的点．
y3x?y?3?0x11AD5x?3y?9?031?2?10x?y?11?011x[来源:gkstkgkstk]
【方法技巧】画区域D时可采用“直线定界、特殊点定域”的方法．
?x?1,?8.（2010·福建高考理科·Ｔ8）设不等式组?x?2y?3?0，所表示的平面区域是?1，平面区域?2与?1?y?x?关于直线3x?4y?9?0对称，对于?1中的任意A与?2中的任意点B，|AB|的最小值等于（ ） A.
2812 B.4 C. D.2 55【命题立意】本题主要考查线性可行域的表示, 并结合图像求解点到线距离的最小值. 【思路点拨】画出可行域以及直线3x?4y?9?0，要求|AB|的最小值即求A到直线3x?4y?9?0的最小值d的2倍． 【规范解答】选B．不等式组所表示的平面区域如图所示：则点平面区域
?1
?1,1? 到3x?4y?9?0的距离即为
?1中任意点A到3x?4y?9?0的最小距离d，
?d?3?1?4?1?93?422?2，
?ABmin?2d?4．
2x2x39.（2010·江苏高考·Ｔ１2）设x,y为实数，满足3≤xy≤8，4≤≤9，则4的最大值是 ．
yy【命题立意】本题考查不等式的基本性质，等价转化思想．
x3x221【思路点拨】4?()?2
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