荷载所产生的变形就会减少。
因此，非饱和土的本构模型既要能反映应力对变形的影响，又要考虑水分变化对变形产生的影响，即
??????????????s? （3-1）
式中：?????和???s?分别为应力和水分引起的应变。
???????C?????? （3-2） ???s???Cs???s?
?C??是通常的应力-应变柔度矩阵，但它随水分而变化。用变量吸力us反映土中水分，
?C??应随吸力us变化。?Cs?表示吸力与应变关系的柔度矩阵，它应随应力变化。由应力引
起的变形与由吸力引起的变形之间存在耦合关系。非饱和土的本构模型是要提出?C??和
?Cs?矩阵的确定方法，包括所含参数的确定方法。不同的本构理论只不过是确定?C??和?Cs?的方法不用而已。对于非饱和土，以吸力为变量的本构关系是主要研究方向，主要体现在：
（1）建立弹塑性本构关系，（2）建立空间状态面模型。 3.1.1 弹塑性理论 岩土本构模型的建立，通常是通过测试少量应力应变曲线，然后借助岩土弹塑性理论以及某些必要的补充假设，把这些试验结果推广到复杂应力状态组合上去，以求取应力应变的普遍关系。主要包括一下四个方面：
1确定模型的基本框架。○首先选择本构模型的基本框架，即本构模型的类型。针对不同岩土本构关系的特点和工程要求，选择不同类型的模型。例如弹性模型、非线性弹性模型、2模型的参数化。弹塑性模型等。○本构模型是对本构关系的宏观描述，根据所确定的模型框
3反向模拟。架，选择一组可以完全表征本构关系的最小数目的参数，即所谓的模型参数。○
4正向模拟。设计一些试验，利用一些可观测参数的实测结果，反演出模型参数的实际值。○
用已建立的模型预测一些可观测参数的测量结果，这是对模型的验证。
近年来，随着土体弹塑性力学迅速发展，各种建模思想不断出现，对于非饱和土也出现了许多不同形式的本构模型。其中弹性模型是最简单、最基本的本构模型。首先，假定非饱和土是各向性的、线弹性的材料，在此基础上得到线弹性模型：
（3-3）
（3-4）
式中：?w为体积含水量，p为平均净应力，弹性参数E、v、H、Kw和Hw都是应力的
函数。
如果将应力状态变量(??ua)和(ua?uw)的变化引入到本构方程中，可以分别得到固
21
相、液相和气相三者的体应变增量关系：
d?s?m1d(??ua)?m2d(ua?us) （3-5） d?w?m1d(??ua)?m2d(ua?uw) （3-6） d?a?m1d(??ua)?m2d(ua?us) （3-7）
式中：?s，孔隙水和孔隙气变形。然而，以上关系式是在保持(??ua)?w和?a分别土颗粒、和(ua?uw)中有一个为常量的情况下得出的，当两个量同时变化时是否成立并未得到证实。同时，(??ua)和(ua?uw)能否作为独立的应力状态变量描述非饱和土的变形，目前并无统一的认识。
在线弹性模型的基础上，很多人根据自己的研究成果提出了非线性弹性模型。这其中比
较有代表性的是陈正汉基于重塑非饱和黄土试验得到的非线性模型：
aawwss （3-8）
其中：?ij、ua、uw和?ij分别表示总应力张量、孔隙气压力、孔隙水压力和Kronecker
记号。该增量形式的本构模型可以看作是饱和土的Duncan-Chang模型在非饱和土中的推广。
尽管有大量的非线性弹性本构模型出现，由于其理论基础不完善、参数的确定繁琐、试验要求较高等原因，远未达到被广泛接受、工程使用阶段。 到目前为止，卡是于上世纪八十年代弹塑本构模型的理论研究，已经取得了很多进展。出现了比弹性模型更加丰富合理的模型。其中得到学者公认有描述饱和土的临界状态理论的剑桥模型和描述非饱和土弹塑性理论的Alonso模型。
试验证明，对于正常固结的粘土和弱固结的粘土，孔隙比e与外力p，q之间存在唯一关系，且不随应力路径改变而发生变化。即从某一初始状态开始加载，直到最终维持塑性常体积变形，会出现一个临界状态。
（1） 在（e,p）平面中，存在一条曲线，在正常固结粘性土中的所有应力遵循此路径，这被称为正常固结线(NCL)。这条线提出了体积硬化规则，可以被广义化为一般应力条件。 （2） 在（e,p,q）空间中存在一条线，所有的残余状态都遵循此路径，而与实验类别和初始条件无关。这条线与（e,p）平面中的正常固结线平行，在此线上，剪切变形发生而没有体积变形发生。
（3） 从固结排水和不排水实验中所得到的应力路径位于唯一的状态面，通称为Roscoe面。事实上，在不排水路径中，土随着塑性体积应变的发展而硬化。其中，体积应变的 弹性应变增量之和保持常数。Roscoe面的价值在于给出了屈服面类型的一个选择依据。
剑桥模型将“帽子”屈服准则、正交流动准则和加工硬化规律系统地应用于土体本构关系，并提出了临界状态线、状态边界面、弹性墙等一系列物理概念，构成了第一个比较完整的土体塑性模型。
在剑桥模型临界状态的概念基础上，Alonso和Gen等人发展得到了非饱和土的弹塑性模型。针对非饱和土和弱膨胀土在广义应力空间内提出了一个统一的弹塑性本构模型，后来被人们广泛应用，也就是著名的Barcelona模型。
22
该模型在剑桥模型的应力应变空间中增加了一个吸力变量，构成了一个广义屈服面，并假定（p,q）平面内的应力屈服轨迹是椭圆（图3-1）。得到在（p,q,s）三维应力空间（图3-2）内屈服轨迹面方程为：
图3-1 非饱和土体的屈服线 图3-2 Alonso 模型在p-s平面的屈服面
f1?q?M(p?ps)(p0?p)?0f2?s?s0?022 （3-9）
式中： ；M是临界状
态线的斜率。
Alonso认为在非饱和状态下，吸力将影响土体的力学行为： ? 吸力将增加土体的强度使土体变硬。即随着吸力的升高土体的屈服应力增大，即在（p,a）平面内的屈服面将扩大，使土体能够承受更大的前固结应力。 ? 在低常压力压缩试验中，湿化过程将导致土体呈现体积膨胀趋势；而高常压力压缩试验中，土体将随着湿化过程出现体积收缩的趋势。 ? 吸力将提高土体的抗剪强度。
? 土体的前固结压力随吸力变化并服从Loading-Collapse（LC）曲线（图3-3），称为加载湿陷屈服线。
图3-3 Alonso模型在p-s平面的屈服面
23
当吸力us超过某一临界吸力s0时，土体将产生不可恢复的塑性体积应变，并定义了如
下形式的吸力增加屈服面。s=s0内聚力c随吸力的变化呈线性关系，即c=c(s)=-ks。也就是说单纯的吸力增加也可引起土的屈服，在p-s平面上可用所谓的SI直线描述，称为吸力增加屈服线。两条屈服线与坐标轴包围的区域是弹性区。当应力路径穿越任一屈服线时，土体都将发生屈服（图3-1）。 该模型是当今应用最广泛的描述非饱和土力学行为的本构模型。此模型以修正的剑桥模型为基础考虑了吸力对先期固结应力的影响；由于引入了吸力的影响，屈服面与原来的剑桥模型有所不同，但是弹性行为和硬化准则仍然与修正的剑桥模型一致。其中，净应力和吸力是Alonso模型中描述土力学行为的基本变量。Alonso模型可以再现很多非饱和土实验中观察到的特有现象，如：体积变化，塑性行为和Loading/Collapse现象等。然而，以Alonso为代表提出的弹塑性模型也存在很多不尽如人意的地方。例如其不能反映水力滞后、剪缩软化性等。
后来又有很多学者对Alonso模型进行了补充或独立突出了自己的模型。其中具有代表性的模型有结构损伤力学模型。
损伤力学模型认为，土体的宏观结构尤其是各种不连续结构面，对土体的变形和破坏起着控制作用。绝大多数天然土都有一定的结构性，这种结构性对土的工程性质有强烈的影响。人们早就发现土结构性的不同及其变化是结构性粘土的脆性破坏、黄土湿陷以及膨胀土湿胀的重要原因。正如沈珠江院士提出：“土体的破坏是由原状土逐渐向扰动土（损伤土）转化的过程，是土的原生结构逐渐破损，次生结构逐渐萌生的过程”。传统的本构模型（非线性模型、弹塑性模型、粘弹塑性模型等）均未考虑实际的土体变形是如何发生的，即未考虑大变形土体结构的改变。
损伤力学模型假定土体的变形过程就是从原状向扰动土转化的过程，这一过程中任一时刻的应力应变关系可写为：
????(1??)[D]i?????[D]s??? （3-10）
式中：[D]i为原状土的刚度矩阵；[D]s为扰动土的割线刚度矩阵；?为损伤比，即扰动
土所占的比重，损伤比可表示为下列经验公式：
（3-11）
式中：w0和ws分别为原状土和扰动土的含水量。损伤力学模型较好地反映应变软化和
浸水软化。但是，?是从某种猜想促发而提出的，是否符合实际，仍有待验证。
3.1.1 状态面理论
Matyas和Radhakrishna早在1968年提出了非饱和土状态面的概念，状态面参量包括应力变量（?m?(?1?2?3)?ua、?1??3、uw?ua）、土的结构性、孔隙比和饱和土。并且证明了本构状态面的唯一性，也就是说以孔隙比为纵坐标的本构面是一个但屈服面。当净应力和基质吸力增大的时候，土结构的体积变形是单调的。
在（e、??ua、us）三维空间里，状态参数包括孔隙比、净应力、吸力；由此可以
准确地定义土单元的变形状态。如果假定孔隙比和饱和度是体积变化的一维变量，可以得到这样的函数关系：
24
e?F(??ua,ua?us,e0,Sr0） （3-12） Sr??(??ua,ua?us,e0,Sr0) （3-13）
式中：Sr—饱和土；
Sr0—初始饱和土； e0—初始孔隙比。
根据Matyas和Radhakrishna的思想，Fredlund将孔隙比和含水量分别作为土结构和液相的变形状态变量。在三轴加荷条件下，非饱和土的孔隙比和含水量的变化可以写成：
加荷土结构：de?atd(?m?ua)?amd(ua?uw) （3-14） 加荷液相：dw?btd(?m?ua)?bmd(ua?uw) （3-15） 缺荷土结构：de?atsd(?m?ua)?amsd(ua?uw) （3-16） 其中：at—与净法向应力d(?m?ua)有关的压缩系数； am—与基质吸力d(ua?uw)有关的压缩系数；
bt—与净法向应力d(?m?ua)有关的含水量变化的系数；
bm—与基质吸力d(ua?uw)有关的含水量变化系数。
方程（3-14）和（3-15）在三维坐标体系中的本构面示意图分别见图3-4a和图3-4b。孔
隙比状态面上每一个点的方向可由两个倾斜角度at和am来决定（图3-5a）。
第一个倾斜角度与孔隙比和净应力有关：
at??e?(??ua) （3-17）
第二个倾斜与孔隙比和基质吸力有关：
am??e?(ua?uw) （3-18）
同理，在饱和度状态面上的一个点也可以由bt和bm两个倾斜角决定（图3-5b）。
25