i.
不同坐标系中动量方程表达式：
直角坐标系：
??u?u?u?u?1?p???u?v?w??t????x?0?x?y?z?X方向：? ??v?v?v?v?1?p???u?v?w??t????y?0?x?y?z?Y方向： ? ??w?w?w?w?1?p????u?v?w??t????z?0?x?y?z?Z方向： ?
? 方法二、（思路：从欧拉观点出发，在笛卡尔坐标系中，对微元控制体应用牛顿第二定律。）
? 控制体：如图6-3所示选一个边长为dx，dy，dz的控制体，并把这控制体固定于坐标系上。 ? 基本定律：
把动量守恒定律应用到控制体上。
该定律实质上是牛顿关于作用在一个质量上的一切力的总和等于其质量和其加速度的乘积这条定律的推广。对于变质量的情况，这条定律可改述为：一切力的总和必须等于单位时间内所涉及的流体质量的动量变化。 力分析
1）
彻体力：作用在控制体内流体上彻体力。
?gxdxdydz
21
2） 表面力：该表面力描述流体微团周围的流体对该微团的作用。
单位面积上的力称为应力，该表面力可以任意方向作用于如图6-3中的表面1上，它可以分
解成三个分量：一个分量垂直于表面1，而其他两个作用于表面1上并分别具有y和z的方向，这些力以p表示，并在其右下角具有两个下标，第一个下标表示力所作用的元面的法线方向，第二个下标表示应力分量本身的方向。 应力
pxy和pxz作用在表面1上，称为剪切应力。应力
pxx则依照我们的规则属于张应力
（关于法向应力
pxx需要做进一步的解释。前面曾提及，流体被定义为当速度减至零时其剪切应
力也消失的这样一种物质。但是法向应力并不消失，而是退化为流体压力，流体压力的特点是它和流体微元体的任何表面相垂直，而且在任何方向上具有相同的值，因此我们认为，法向应力
pxx-p是有粘性应力
pxx和流体压力p所组成，其中
pxx随流体速度降为零而消失。P的前面之所
以取负号是因为外界作用于流体微元上的压力总认为是正的（压应力），而应力规则属于张应力） ? 动量分析：
微元控制体内质量的x方向动量变化的各种因素：
? 单位时间内通过控制表面1，x方向的动量流： 单位时间内通过控制的流量是：?udydz
2?udydz x方向的动量流：
pxx则依照我们的
? 单位时间内通过控制表面2，x方向的动量流：
经表面2离去的x方向的动量流比表面1进入的x方向动量流的多余部分为：
??(?u2)2(?udydz)dx?dydzdx?x?x
用同样的方法可以得出穿过其他几个面的x方向动量流（把各个面上相应的质量流乘以速度分量u）。得出表6-1的第一列。
? 非稳态流动引起的控制体内流体x方向动量的变化：
?(?u)dxdydz??
表 6-1
各方向的质量流 x y X方向动量流（流出减去流进） X方向净表面力 ?(?u2)dydzdx?x ?(?u?)dxdzdy?y 22
?(pxx?p)dydzdx?x ?pyxdxdzdy?y
z 控制体
?(?u?)dxdydz?z 动量变化 ?pzxdxdydz?z 彻体力 ?(?u)dxdydz?? ?gxdxdydz 表的第三列前三行给出了表面力。而最后一行给出作用于控制体的彻体力。现在，可以由力与动量变换之间的平衡而得出描述动量守恒的方程：
?pyx?p?????2zx(?u?)(?u)(?u?)(?u)(pxx?p)?g?x+?y+?z+??=?x+?y+?z+x （6-10）
把上式左边的各项进行偏微分，我们得到：
?u?v?u?u?(?u)u?(?v)?(??)?p?pxx?pyx?pzx?u???u???uuu??y+?x+?y+?z+??+?x+?z+??=?x+?x+?y+?z+
?gx
而如果考虑到质量守恒[（6-3）式]，则有：
?u?v?u?u?p?pxx?pyx?pzx?u?u?????y?x+?z+??=?x+?x+?y+?z+?gx （6-11） +Du引入物质微商d?后，可以把上式简化，依照（6-4）式该微商为：
?uv?uDu?u?uu?d?=??+?x+?y+?z
控制方程：
现在可把x坐标上的动量方程写成：
Du?p?pxx?pyx?pzx??d?=?x+?x+?y+?z+?gx （6-12）
y方向及z方向有对应的两个方程：
Dv??p?pxy?pyy?pzy?d?=?y+?x+?y+?z+?gy （6-13） D??p?pxz?pyz?pzz??d?=?z+?x+?y+?z+?gz （6-14）
用张量符号则用一个方程就可以表达动量守恒定律：
23
Dvi??p?pji?d?=?xi+?xj+?gi （6-15）
?pji下标i表明这些项是向量，而
?xj项如同（6-8）式及（6-9）式中的那样，依照求和约定规则，用来代
?替
j?pji?xj项。
流体本构方程（Constitutive equations）（又称要素方程）
流体本构方程：指物体的外部效应与物质内部结构之间的方程。如流体外部粘性力和流体内部变形之间的关系，流体外部热通量和内部温度梯度的关系等。本构方程以物理假设为前提，其数学关系式反应其内在本质联系，实验验证是方程成立的依据。
A. 粘性流体本构方程（流体微团的变形与应力之间的关系表达式）
对牛顿流体，粘性流体应力
?ij和变形
Dij关系式由G..G..斯托克斯（Stokes）于1845年用推导固体
的应力和应变关系相类似的推理确立。
? 粘性流体应力
?ij和变形
Dij呈现比例关系；
? 各向同性流体，应力? 不计粘性力时，应力
?ij?ij和变形
Dij之间线性函数关系中的系数与坐标选择无关；
退化为静压－p
根据上述假设，应力表达式为：
对于牛顿流体，变形率和应力之间存在着线性关系。 ? 对于简单剪切流动，关系式为：
???dudy，前面提到的剪切应力Pyx被称为?。
? 对于存在所有三个速度分量、而且它们每个都取决于三个坐标系的更为一般的情况，这些关
系式就更为复杂。G..G..斯托克斯（Stokes）于1845年用推导固体的应力和应变关系相类似的推理确立可这些关系式。
根据力学定律，以下关系式能成立：
PyxPxy=
（6-16）
推广地说，改变应力项下标不会改变它们的大小。前面式子中的应力由下列关系式给出：
Pyx??(
?v?u?)?x?y （6-17）
24
Pxx?2??u?u?v?????(??)?x?x?y?z
对其他的应力项也能写出相应的关系式来。
? 在引入了以下的单位张量后，也可用张量符号把粘应力表示成一个简单的方程：
?1?ij???0当i?j时
当i?j时
这个张量被称为克劳讷克?（Kronecker delta）。于是粘性应力方程就成为：
Pij?????vj?vj?vk?ij??(?)?xk?xj?xi （6-18）
同样，项用来代替一个总和项，因为下标k是重复的。下标j代表关系式中在j方向的分量的那些项。例如对于i=1及j=1,上式就是：
P11???(?v??1??2??3??)?2?i?x1?x2?x3?xi
它与（6－17）式中的第二式是一样的。对于i=1及j=2，可得：
P12??(??1??2?)?x1?x2
它与（6－17）式中的第一式是一样的。
? 在（6－17）第二式中出现的粘性系数?,依照简单的分子运动论，对于单原子气体它的数值
为2/3?。另一方面对于多原子气体，根据气体分子运动论及对压缩激波的实验研究，已经发现?和?之间有不同的关系。以后可以看出，本书中所涉及的任何情况，粘性系数?都可以从方程中去掉。
直角坐标系中，速度场V：（u,v,w）,应力为：
???Pxy?Pyx??(?v?u?)?x?y ?v?w?)?z?y
Pyz?Pzy??(Pzx?Pxz??(Pxx?2??w?u?)?x?z
?u2?u?v????(??)?x3?x?y?z
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