对于任意的N，这N个人的生日各不相同的概率是 (364)N-1／365N-1
当N比较小时，这个值接近于1。随着N的增加，这个值递增。当N达到366时，这个值等于0。于是，我们最初的问题变为“当N达到多大时，(364)N-1／365N-1小于50％”。
你认为答案应该是多少?除非以前见过这个问题，多数人会把答案估计得很高。很多人选择183，因为这个数刚好大于365的一半。很少有人选择40以下的数。正确的答案是23。
当N＝22时，(364)N／365N约等于0.5243；当 N＝23时，(364)N／365N约等于0.4927。所以答案是23。如果这个结论让你吃惊，我可以提供另外一个分析思路。
任何两个人生日相同的概率是1／365。在23个人中任意取出两个，一个有23C2＝253种取法。因此，23个人中有两个人生日相同的概率大致在253×(1／365)＝253／365附近。在我们的计算过程中，有些情况被重复计算，比如A和B的生日相同， B和C的生日相同，则B和C的生日一定也相同，这种情况被计算的次数不止1次。所以，最后的结果要比253／365小一些。无论如何，我想向你说明的是：当人数达到23时，至少有两个人生日相同的概率已经相当大了。至少比一般人估计的大得多。 现在我们可以把一些复杂的因素考虑进来。事实上，每天出生的人数是不同的。这个事实会对我们的结论产生什么影响?一个很重要的原则是：当每个人的生日在365天中的分布不均匀时，至少有两个人生日相同的概率上升。要证明这个结论不像想象中的那么复杂。
3负二项分布（帕斯卡分布）
NEGBINOMDIST(number_f,number_s,probability_s)
【例3】实际问题：一个市场调查员需要完成500份问卷调查，随机遇到的行人有3/10愿意回答，每遇到一个人需要6分钟（即经过他身边的人流速度为每6分钟一人），问他完成500份问卷工作需多少时间？
每60分钟会遇到10人，其中3人回答，完成500份，则需要500/3个60分钟，即167个1小时。这样算对吗？
考虑一个试验，结果只有2种可能性，出现某一结果的概率为p，不出现的概率为q。现在一直进行试验，直到这个结果出现r次为止。X表示实验共需进行的次数，问X在不同值时的概率。
遇到行人，回答与不回答，回答概率0.3，需要有500个回答，即“直到回答的人达到500次为止”。 这可以用负二项分布来刻画。 X是随机变量，其概率分布为：
?1rk?rf(x)=Ckr? k=r, r+1, r+2, ?? 1pq记作 X～NB(r,p) E(X)=rq/p; Var(X)=rq/p2
则上面的实际问题中，X是需要访问的人数，X～NB(500,0.3) E(X)=rq/p=500*(1-0.3)/0.3=1167
即完成500份要找到1167人，如果以每人6分钟计算，共需要6*1167分钟，即116.7小时。
【例4】估计产品的废品率。按顺序一个一个地抽取样品并逐个检验，直到累计到r个废品为止，此时已抽取了n个，推算废品率。
X表示抽取的产品数，则X服从NB(r,p)。废品率的估计p’=(r-1)/(n-1) r和n之后减去1是因为从总体中抽取样本时，自由度是n-1。
4多项分布
二项分布描述的是试验结果只有二种情况，且每个试验结果都对应着同样概率的随机现象。多项分布是二项分布的推广，适应于实验结果有k个可能的随机试验。
【例5】某空调商店的经验：进入商店有20%的人买分体式空调，8%买窗式空调，其余人什么也不买。假如一天上午有10位顾客来，求能卖出3台分体式空调和1台窗式空调的概率。
顾客行为有3种可能：买分体式空调、买窗式空调、什么也不买（3种可能互相排斥），各有已知概率，且概率之和为1，一共来了n位顾客。 理论假定：第一，实验结果有k 个可能，且互相排斥。第二，每个结果X1, X2, ?, Xk对应于一个固定的概率p1,p2, ?,pk，且∑pi=1。第三，进行n次独立试验，各个结果出现的次数分别是n1, n2, ?, nk，其中n=∑ni。 多项分布的概率函数是
n!nkn1n2p1p2?pk?f(x1,x2,?,xk)=n1!n2!?nk!n!?ni!i?1k??i?1knipi
【例5】解：令X1, X2, X3分别表示买分体式空调、买窗式空调、什么也不买的人数，相应的概率各自为p1,p2, p3，则所求概率
10!?0.23?0.081?0.726=0.075 P(X1=3, X2=1, X3=6)=3!1!6!如果问：能卖掉任意4台空调的概率，会有5种情况，且各自独立，其概率为五种情况概率的总和。
买分体式空买窗式空不买计算方法 调X1 P=0.2 0 1 2 3 4 合计 调X2 P=0.08 4 3 2 1 0 X3 P=0.72 6 6 6 6 6 10!?0.20?0.084?0.726 0!4!6!10!?0.21?0.083?0.726 1!3!6!概率 0.001198 0.011983 0.044937 0.074895 0.04681 0.179823 10!?0.22?0.082?0.726 2!2!6!10!?0.23?0.081?0.726 3!1!6!10!?0.23?0.081?0.726 3!1!6! 来10个人，能卖掉任意4台空调的概率是0.18
【例6】一批产品中已知合格品(X1)占11/18，次品(X2)占2/9，废品(X3)占1/6，随机抽6件，问抽到3件合格品、2次品和1废品的概率。 n=6, n1=3, n2=2, n3=1
11??2??1?P(X1=6, X2=2, X3=1)=6!??????????3!2!1!?18??9??6?316=0.1127
5几何分布
在一个伯努利试验中，A事件出现的概率为p，现在一个一个地试验，直到A事件出现为止，需要做X次试验，X服从几何分布。 f(x)=qk-1p k=1,2…. p+q=1 记作 X～G(p) E(X)=1/p; Var(X)=q/p2
【例7】需要AB型血，献血者中有2%能提供合格血，平均抽多少人才能取得AB型血？
E(X)=1/p=1/0.02=50
【例8】路上有4盏交通灯，红绿概率各0.5，求一辆车停止前所通过的交通灯数的分布图。
X表示车在停止前所通过的交通灯数，取值为0，1，2，3，4。p=0.5 x5=4时 f(x)=(1-p)4p0 0.03175 x4=3时 f(x)=(1-p)3p 0.0625 x5=2时 f(x)=(1-p)2p 0.125 x5=1时 f(x)=(1-p)1p 0.25 x5=0时 f(x)= p 0.5 0.60.50.40.30.20.10012345
6超几何分布
X为一随机变量，其取值区间为[Max(0,M+n-N),Min(M,n)]上的整数，若的概率分布为
Cxn?xf(x)?MCN?MCnN
X