则称X服从超几何分布，记作X～H(n, N, M)。其中，N为总体容量，M为总体中具有某一特征的单位总数，n为样本容量。 E(X)=nM/N Var(X)=nM(N2?n)(N?M)
N(N?1)
【例9】在50个零部件中，已知有5个不合格，如果用不重置抽样方法抽出4个，问：
第一，4个中恰好有1个不合格的概率； 第二，不超过2个不合格的概率。 解：第一，N=50, M=5, n=4 P(X=1)=
xn?xCMCN?MnCN=
13C5C454C50=0.308
第二，P(X≤=2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) =
03C5C454C50+
13C5C454C50+
22C5C454C50
=0.998
【例10】估计水库中鱼的总数量。基本思路：已知总数量的有标记的鱼出现在一个随机样本中的比例，这现象服从超几何分布，再通过概率公式计算。
先捕M条，做上标记后放回水库，过一段时间待鱼分散后，再从水库中捕出n条，数一下n中有多少有标记的，然后可以估计水库中鱼的总尾数N。 设：先捕1000条(M)，做上标记后放生，再捕回2000条(n)，发现有50条(k)，则根据题意
50=E(X)=nM/N，(这里，X表示样本中有标记的鱼的数量，这一数量与三个因素有关：第一，样本容量n，第二，总体单位总数N，第三，总体中具有该特征的个体的总数M)
N=nM/50=1000*2000/50=40000
【例11】200大学生中有100戴眼镜,从200中抽10,计算其中戴眼镜人数的概率
200=N, 100=M, 10=n 戴眼镜的人数X介于0-10，
xn?xCMCN?MnCN010?0C100C200?10010C200P(X=0)= ==
P(x=0)= 0.000771 P(x=1)= 0.008473 P(x=2)= 0.041029 P(x=3)= 0.115292 P(x=4)=
0.2082
P(x=5)= 0.25247 P(x=6)=
0.2082
P(x=7)= 0.115292 P(x=8)= 0.041029 P(x=9)= 0.008473 P(x=10)= 0.000771
再假设200大学生中有160戴眼镜,从200中抽10,计算其中戴眼镜人数的概率
200=N,160=M,10=n 戴眼镜的人数X介于0-10，
P(X=0)=
xn?xCMCN?MnCN=
010?0C160C200?16010C200=
7泊松分布
历史上，泊松分布是二项分布的近似，1837法国的泊松(Poisson, S. D. 1781-1840)首次提出。以后发现，许多取非负整数的离散随机变量都服从泊松分布。
在二项分布B(n,p)中，若相对而言，n大，p小，而乘积np大小适中，二项分布中诸概率有一个很好的近似公式，即著名的泊松定理。
泊松定理：在n重伯努利试验中，以pn表示在一次试验中发生的概率。且随着n增大，pn在减小。若n趋向无穷大时有λ=npn→λ(常数)，则出现x次成功的概率
f(x)??xx!e??
它是二项分布的极限形式（n趋向无穷大时） E(X)= λ Var(X)= λ
泊松着迷于小概率事件，研究的现象是骑兵被马踢死。 有10个骑兵队，观察20年，得到200个记录， 被马踢死的骑兵数r的频数分布 r 0 1 2 频数 109 65 22 相对领数 0.545 0.325 0.110 理论慨率 0.544 0.331 0.101 3 4 3 1 0.015 0.005 0.021 0.003 在200份观察记录中，没有骑兵被马踢死的记录有109份，有1个被马踢死的记录有65份，有2个被马踢死的记录有22份，有3个被马踢死的记录有3份，有4个被马踢死的记录有1份。共有122人被踢死。 泊松分布是一个二项概率的极限近似。一个骑兵在一年中不是被马踢死就是不被马踢死。合理地去假定这一稀有事件发生的机会对所存的兵士来说都是一样的，并且兵士们被踢死的机会是独立的。因此一年中被踢死的骑兵数是一个二项变量，但是，被踢死的概率p很小而试验次数即骑兵人数是很大；因此泊松极限对这些数据给出一个很好的描述。
计算平均数：(0*109+1*65+2*22+3*3+4*1)/200=122/200=0.61 即λ
带入
f(x)??xx!e??
f(0)=0.610*2.71828-0.61/0!= 0.543351092 f(1)=0.611*2.71828-0.61/1!= 0.331 f(2)=0.612*2.71828-0.61/2!= 0.101 f(3)=0.610*2.71828-0.61/3!= 0.021
f(4)=0.614*2.71828-0.61/4!= 0.003（计算过程见excel）
【例12】500人中，恰有k个人的生日在元旦的概率是多少？ 用二项分布解：p=1/365
k?1??364?Cf(X=k)=500?365??365?????k500?k （计算过程见excel）
【例13】一批铸件中，每件的缺陷数服从泊松分布，该批铸件的缺陷数平均为1.5，如果规定缺陷数不超过1个为一等品，价值1500，1-4个为二等品，值1000，有5个以上为次品，值500，求：第一，产品为1、2、次品的概率；第二，产品的平均价值（计算过程见excel） ?解：E(x)= λ=1.5
?第一,P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=0.558 ? P(1 泊松分布的运用场合： 一定时间内，电话机收到呼叫的次数 一定时间内，超级市场中排队等候付款的顾客人数 一定时间内，来到车站等候公共汽车的人数 一定时间内，某操作系统发生故障的次数 在一个稳定的团体内，活到100岁的人数 一匹布上疵点的个数 100页书中，错别字的个数 总结：一定时间内（或某一区域内、一特定单位内），把这些范围分成数目很多的很小的部分，每个小部分上都有或没有（这是伯努利试验的根本条件），很小的部分的数目无穷大时，数目与概率的乘积为常数，就可以使用泊松分布。 为了方便，统计学家计算了泊松分布表。其λ从0.02到25（通常用累计值）