由中心极限定理知：
(X?Y)?(?x??y)?x2?2y~N(0，1)
n?m双侧检验假设：
H0：μx=μy H1：μx≠μy 构造的检验统计量在H0成立时有：
??????X?Y???????2?x?2y1??2?~N(0，1) n?m????对给定的显著性水平α，查表得μ1-α/2
的值，则该检验的拒绝域
????c=??X?Y???????2?xy1??2? ?n??2m???右单侧检验假设：
H0：μx=μy H1：μx>μy
????c=??X?Y??????21??? ?x?n??2y?m???左单侧检验假设：
H0：μx=μy H1：μx<μy
????c=??X?Y?????1?????22?x? ?n??ym???为：
例题“先进工艺与普通工艺差别”的分析思路：
假设二样本的数据来自同一总体，则其差距应该比较小。
差距数值应该服从正态分布，但在小样本时，必须使用t分布(红色图形)。差值过大或过小，概率都比较小，落在图形的两端，此时，有理由怀疑原假设，而接受备择假设。
张国权《应用概率统计》132页15题
n=10, m=9, x1=2.24, S12=0.089, x2=1.96, S22=0.048
?x?y?????2xx??ym?～t(n+m-2)
n?2?y对于1-α＝0.95查t分布概率表得tα/2(17)＝2.898 计算(公式见107页5.10式)
?x?y??t1??211?＝ nm11?＝ nm?x?y??t
1??22.试验设计与方差分析
一、试验需要设计
例如，你手头有两颗钻石，要在一架天平上称出其各自的重量。一种办法是一次称一颗，若不计较天平的误差，称两次即得所要的结果。这当然是一个合理而可用的安排，但如考虑到天平有称量误差，则上述的安排不是最好的。最好的安排是这样：第一次把两颗钻石一起称，得出结果 X1。第二次把钻石甲、乙分别放在天平的左、右盘，再以砝码平衡之，约定论码在右盘时为正，在左盘时为负，将其结果记为X2，X2表示甲的重量减去乙的重量。图4．1是一个示意图，表示甲比乙重的情况。得到数据X1，X2后，分别以 y＝(X1+X2)/2和(X1-X2)/2估计钻石甲、乙的重量。
为什么这种做法比一个一个称的安排好呢?从平常的眼光看这不好理解，反觉得有些自找麻烦，但从统计分析的角度可以解释，由于不太复杂，不妨稍仔细地谈一谈。
分别以a、b记钻石甲、乙的真实重量。第一次称时甲、乙在一起，称的是a+b，结果为X1。由于有误差，X1并不恰好等于a+b，而还要加上一个随机误差e1： X1=a+b+e1 (a)
第二次称，甲在左盘乙在右端，称的是a-b，结果为 X2，同样，由于有误差，X：并不恰好等于a-b，而还要加上一个误差e2：
X2=a-b+e2 (b)
把(a)、(b)两式相加，得X1+X2=2a+e1+e2，即 (X1+X2)/2=a+(e1+e2)/2
从此式看出，虽然用(X1+X2)/2去估计“仍有误差，但误差(e1+e2)/2是两个误差的算术平均。在前几章中我们多次指出，平均的结果使误差方差下降而改善了精度。对b的估计有同样的结论。所以，在这个新的安排之下，我们并未增加称量次数(一共两次，与一个一个称且各称一次的次数同)，但改善了估计的精度。如果用逐个称的方法，要达到同样的(改善了的)精度，需要每一颗各称两次，一共4次；这样，通过上述聪明的安排，在不增加称量次数的条件下，把事情做得更好了。
另一个极端是：每次都把甲、乙放在一起称。如果这样安排，不论你称多少次，都只能得出甲、乙重量之和的估计，而无法分开来，我们的目的(称出每颗钻石之重)无法达成，因而这是一个不好的安排。 也许会说：这个问题可笑，谁也不会做这样愚蠢的安排。确实，在这种简单问题的情况下是如此。但是，在一个复杂的问题中，由于考虑不周到而犯下这样的错误，就不仅可能，且有时为了避免这种错误还要大费周折。
举一个简单的例于：治疗某种疾病有现行的方法A。有
人提出了一种认为可提高疗效的新法B。为进行验证，各取患者若干人做试验，结果表明 B的治愈率高。但仔细一检查，发现用疗法B的患者多数年轻而病情轻，用疗法A的患者则反是。这样一来，试验结果的解释就不一定是B优于A，而可能是由于其他原因——使用疗法 B的患者素质较好。这实际上与上述称重量的问题无异：我们“称”出的不是疗效，而是“疗效+素质”。
把以上讲的小结一下，我们说，干扰一个试验结果的有：(1)混入的系统性因素。(2)随机性的误差。前者是指那种显著的，可以造成重大错误的因素，例如病人的情况不同可能对疗效的估计产生重大错误。又如要通过试验验证，一种工业产品的新配方(或新工艺)，是否真能改善产品的性能。但新旧两种配方的试验分在两个工厂做，而这两个厂的设备条件和工人素质都有差异，后者作为系统性因素混入试验结果，使我们无法做出可信的结论。避免这种情况的方法有二：一是设法消除，如在前一例中，可选择年龄病情大致相当的患者去做临床试验。二是将其计入，但采取适当的试验安排，以使之能与我们关注的效应分离开。如在后一例中，可以把两种配方都在两个工厂中生产，使工厂条件上的差别在数据分析中互相抵消，而不与配方优良性的效应相混淆。
随机性因素的影响是不可能完全消除的，只能采取一些办法加以抑制，不使之过大以防造成试验结果在解释上的不确定性。例如要准备多份材料做同一个试验，虽然在准备材料时力求其均匀纯净，但总不可能绝对如一，这差异就作为误差进入试验结果，如果它过大，就可能造成下述情况：从试验结果上看甲、乙有一定差异(比如品种甲的亩产比乙高一些)，但随机误差很显著，大到可以与这差异相比拟的程度，我们就无法确定：数据上显示出的甲乙差异究竟是因为二者真有差异，还是因为随机误差的干扰。
抑制随机误差的影响一般有3种方法，一是工作认真细致。如准备试验材料时尽量做到均匀纯净，用天平称物时小心操作，避免外界环境和个人因素(注意力不集中等)的干扰。二是重复。比如天平灵敏度不高，就多称几次求其平均，利用平均值误差下降的原理缩小误差的影响。三是进行适当的安排。前面所举天平称钻石就是一个例子，在该例中，适当的安排在不增加称量次数的情况下，缩小了随机误差。
上面我们多次提到“安排”一词。这是指如何安排试验，使之达到消除系统误差和缩减随机误差的干扰。在统计学中，把这种安排试验的学问叫做“试验设计”，它是统计学的一个重要分支学科。从上面的讨论可以看出：设计(或安排)试验，并不涉及该试验相关的学科专业知识。化学试验如何做，生物试验如何做，这是化学家，生物学家的事，统计学家所做的，只是帮助他们从数学的角度设计一种有效的安排，它只涉及某些配置问题(或者说组合问题)，而不去干预其具体操作。如在天平称钻石的试验中，统计学家建议那样一种称法(先两个一起称，再一边一个称)，至于如何去调整，操作天平，那要由懂行的人去做，不在统计学家职责的范围。
再比如，汽车运输公司想比较两种汽油哪个能提供更多的动力（用行驶里程/升计量），可以想象这个指标和什么因素有关：汽车类型、驾驶习惯、道路情况、交通拥挤程度、天气情况等。用100辆出租车做试验，结果：1加仑=4.5461升，1英里=1.6093千米 A汽油 B汽油 样本容量n 50 50 每加仑行驶英里数x 25 26 标准差S 5.00 4.00 2S12S2差别是1英里/加仑。但标准差很大，抽样平均误差也很大（S(x?x)==0.905） ?12n1n2在95%的置信度下，估计两种汽油的差别：=x1-x2±1.96*0.905=-1±1.774 这个区间包括0，假设两种汽油无差别，则备择假设就是有差别。 ???(26-25)/0.905=1.1(公式?????????) ????X?Y?2xn??2y??1??2m标准分为1.1时，覆盖面积为0.7286，则超出这个范围的概率是0.2714，它明显大于0.05，则拒绝原假设，不认为两中汽油存在差别。
这实验显然是失败了，明明看到4%左右的差距，但统计计算结果并不承认这差别，其主要原因是标准差比较大，置信区间比较宽。其中的一个因素是没有较好安排，使标准差变得比较小。
更好的方法是：在不同的日子把不同汽油分配给同一辆车。以抛硬币的方式决定在星期二或星期三使用A汽油，而且把试验用出租车减少到10辆，记录结果： 车序号 汽油A 汽油B 差数d
1 27.01 26.95 0.06 2 20 20.44 -0.44 3 23.41 25.05 -1.64 4 25.22 26.32 -1.1 5 30.11 29.56 0.55 6 25.55 26.6 -1.05 7 22.23 22.93 -0.7 8 19.78 20.23 -0.45 9 33.45 33.95 -0.5 10 25.22 26.01 -0.79
25.198 25.804 -0.606 平均数
4.268897334 4.101366168 0.614278 标准差
两种汽油的平均数和标准差大体相同，这在意料之内，因为与不成对的试验一样，它们的离差来源相同。但差数一栏的标准差很小。尤其通过一辆汽车比较汽油的性能，消除了不同出租车之间的离差。
差数d为每辆车提供了惟一的差距标准，可用来计算小样本（n<30）的检验统计量t，
t=d Sdn在95%的概率下，以d为中心的置信区间是 d±t0.025*
Sdn在95%的概率下，有置信区间-1.04<=μd<= -0.16
=-0.6±2.26*(0.61/√10)=-0.66±0.44
建立原假设：μd不等于0
t值为0.6/0.19=3.15，自由度为9，用EXECL查：TDIST(3.15,9,2)=0.01173755(这是概率值，3.15是t分数，9是自由度，2是双侧检验)。说明两种汽油不同的假设通过检验。
成对比较的思想很重要。
现在加入轮胎试验。有两种轮胎也需要测试。 轮胎A 轮胎B 出租车1 出租车2 出租车3 出租车4 星期一 a b c d 汽油A a c 星期二 b c d a 汽油B b d 星期三 c d a b 星期四 d a b c 假定一周内每天天气系统，用4辆车做试验，分配方法如下：
每组试验品在每行每列出现一次。