中央民族大学学士论文
Bachelor Thesis of Minzu University of China
多元函数极值问题探究
An Extremum Exploration of Multivariate Function
姓名:李开
学号:0932098年级:09级 院系:理学院
专业:信息与计算科学 指导老师:李成岳 日期:2013/4/24
摘要
本文首先介绍了二元函数极值的定义，并运用二元函数的泰勒公式和连续性定理证明了二元函数取极值的必要条件和充分条件，着重讨论了临界条件下判别式等于零的情况，并给出了进一步讨论的方法，之后利用曲面理论引进了二元函数极值问题的几何意义并结合坐标平移法给出了求一些无稳定点的二元函数的极值的方法。本文接着将二元函数推广至多元函数，又结合高等代数中二次型理论及微分几何中曲面第二基本形式理论给出了多元函数极值的定义，必要条件，充分条件和几何意义并予以了证明。本文还介绍了多元函数条件极值的定义，必要条件和充分条件，并引入了拉格朗日乘数法这一求条件极值的有力工具。本文最后给出了多元函数极值理论的一些应用，如最小二乘法，空间距离和不等式的证明以及在实际运用多元函数极值理论求解时的一些注意事项和技巧策略。
关键词：泰勒公式二次型曲面基本形式II拉格朗日乘数法 Abstract
Firstly this thesis introduces the definition of binary function extremum, proves the necessary and sufficient conditions of the binary function at its extremal point using Taylor’s formula and continuity theorem, offers a method of further exploration on critical condition where the discriminant equals to zero, explains the geometrical meaning of binary functionextremum based on curved surface theory, and puts forward a method of seeking the extremal point ofsome binary functions without stationary points using coordinate translation. Secondly this thesis extends binary function extremum to multivariate, introduces its definition, proves its necessary and sufficient conditions at its extremal point, and explains its geometrical meaning combined with the quadraticformtheory of advanced algebra and the second fundamental formtheory of curved surface of differential geometry. Besides this thesis describes the definition of multivariate function conditional extremum, and introduces Lagrange multiplier method, a useful tool solving conditional extremum problems, when proving its necessary and sufficient conditions. Finally this thesis introduces some applications of multivariate function extremum theory, such as least square method, problems concerning spatial distance and inequality proof, and some precautions and strategies when solving problems involved using multivariate function extremum theory.
Key words:Taylor’s Formula, QuadraticForm, the Second Fundamental
Form of Curved Surface, Lagrange Multiplier Method
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正文
一、二元函数极值
1.二元函数极值的定义
设二元函数f(x,y)在点P(a,b)的邻域G内有定义。若?(a?h,b?k)?G，有
f(a?h,b?k)?f(a,b)（f(a?h,b?k)?f(a,b)），则称点P(a,b)为函数f(x,y)的
极大点（极小点），极大点（极小点）的函数值f(a,b)称为函数f(x,y)的极大值（极小值）。极大点与极小点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值。 2.二元函数极值存在的必要条件
若二元函数f(x,y)在点P(a,b)存在两个偏导数，且P(a,b)是函数f(x,y)的极值点，
''则fx(a,b)?0与fy(a,b)?0。
'??fx(a,b)?0而由方程组?'确定的解（坐标平面上的某些点）称为函数f(x,y)的稳
??fy(a,b)?0定点。需要指出的是二元函数的极值点一定是稳定点，但稳定点不一定是极值点。 3.二元函数极值存在的充分条件
设二元函数f(x,y)有稳定点P(a,b)，且在点P(a,b)的邻域G内存在二阶连续偏
''''2导数，令A?fxx(a,b)，B?fxy(a,b)，C?fyy(a,b).??B?AC .
''1) 若??0，则点P(a,b)是函数f(x,y)的极值点： i)A?0(或C?0)，点P(a,b)是函数f(x,y)的极小点； ii)A?0(或C?0)，点P(a,b)是函数f(x,y)的极大点。 2) 若??0，则点P(a,b)不是函数f(x,y)的极值点。 3) 若??0，需作进一步的讨论。
证明：已知点P(a,b)是函数f(x,y)的稳定点，则有
fx'(a,b)?0与fy'(a,b)?0
当h与k充分小时，讨论f(a?h,b?k)?f(a,b)的符号，由二元函数泰勒公式
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1??1??(h?k)f(a,b)?(h?k)2f(a,b)?…+1!?x?y2!?x?y
1??1??(h?k)nf(a,b)?(h?k)n?1f(a??h,b??k),(0???1)n!?x?y(n?1)!?x?yf(a?h,b?k)?f(a,b)?当n?1时，有
1''f(a?h,b?k)?f(a,b)?fx'(a,b)h?fy'(a,b)k?[fxx(a??h,b??k)h2?2
''''2fxy(a??h,b??k)hk?fyy(a??h,b??k)k2],0???1''由本题中的fx(a,b)?fy(a,b)?0，则
1''''f(a?h,b?k)?f(a,b)?[fxx(a??h,b??k)h2?2fxy(a??h,b??k)hk?2
''fyy(a??h,b??k)k2],0???1又已知二阶偏导数在点P(a,b)连续，当h?0与k?0时，有
''''fxx(a??h,b??k)?fxx(a,b)???A??,??0 ''''fxy(a??h,b??k)?fxy(a,b)???B??,??0 ''''fyy(a??h,b??k)?fyy(a,b)???C??,??0
于是
11f(a?h,b?k)?f(a,b)?(Ah2?2Bhk?Ck2)?(?h2?2?hk??k2)
2222222其中?h?2?hk??k比?（??h?k）是高阶无穷小，因此当h与k充分小时，
f(a?h,b?k)?f(a,b)的符号由Ah2?2Bhk?Ck2决定。因为h和k不能同时为零，不妨设k?0（当k?0,h?0时，可得得到相同的结论）
hhAh2?2Bhk?Ck2=k2[A()2?2B?C]
kkh(b,)的符号由D?At2?2Bt?C的符号决定。由一令?t，则f(a?h,b?k)?fak元二次方程根的判别式，有
1） 若判别式??(2B)2?4AC?B2?AC?0，对任意实数t，D与A(或C)有相同的符号，即点P(a,b)是函数f(x,y)的极值点：
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i）A?0(或C?0)，有f(a?h,b?k)?f(a,b)?0恒成立，即点P(a,b)是函数
f(x,y)的极小点；
ii）A?0(或C?0)，有f(a?h,b?k)?f(a,b)?0恒成立，即点P(a,b)是函数
f(x,y)的极大点。
2） 若判别式??B2?AC?0，方程D?0有两个不同的实根t1与t2，设t1?t2，D在区间(t1,t2)内与在(t1,t2)外有相反的符号，即点P(a,b)不是函数f(x,y)的极值点。
B23） 若判别式??B?AC?0，不妨设A?0，则C?，得
A2B2BB2B2D?At?Bt??A(t?t?2)?A(t?)2
AAAA22a,b)?0恒成立，即点P(a,b)是函数f(x,y)的极I）A?0，有f(a?h,b?k)?f(小点；
b?k)?fa(b,)?0ii）A?0，有f(a?h,大点；
恒成立，即点P(a,b)是函数f(x,y)的极
III）A=0，由判别式??B2?AC?0知B?0，则D?At2?Bt?C?C，需对
C进一步讨论：
⑴C?0，有f(a?h,b?k)?f(a,b)?0恒成立，即点P(a,b)是函数f(x,y)的极小点；
⑵C?0，有f(a?h,b?k)?f(a,b)?0恒成立，即点P(a,b)是函数f(x,y)的极大点；
⑶C?0，有A?B?C?0，此时可令二元函数泰勒公式中的n?2，得
f(a?h,b?k)?f(a,b)?1??1??(h?k)f(a,b)?(h?k)2f(a,b)?…+1!?x?y2!?x?y1??(h?k)3f(a??h,b??k),(0???1)3!?x?y''由fx(a,b)?0，fy(a,b)?0及A?B?C?0，上式可化为
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