??L??x???L???y???L??z???L????1?2(x?a)??A?0,即x?a??A21?2(y?b)??B?0,即y=b??B2 1?2(z?c)??C?0,即z=c??C2?Ax?By?Cz?D?0解得?=2(Aa?Bb?Cc?D) 222A?B?C于是(x,y,z)只有唯一一组解(x0,y0,z0)，其中
A(Aa?Bb?Cc?D)?x?a??0A2?B2?C2?B(Aa?Bb?Cc?D)?y?b? ?0222A?B?C?C(Aa?Bb?Cc?D)?z?c??0A2?B2?C2?显然这个问题存在最小值。因此函数r2在点(x0,y0,z0)必取最小值，将此点的坐标带入r2中，得最小值
r2最小(Aa?Bb?Cc?D)2 ?222A?B?C于是点(a,b,c)到平面Ax?By?Cz?D?0的距离是
r最小?Aa?Bb?Cc?DA?B?C222
3. 多元函数极值问题的实际求解
我们首先来看函数f(x,y,z)?x2?y2?z2在由关系式
x2y2z2F(x,y,z)?2?2?2?1?0,(0?a?b?c)定义在椭球面S上的极值。
abc解：写出拉格朗日函数
x2y2z2L(x,y,z,?)?(x?y?z)??(2?2?2?1)，根据极值必要条件求出方程
abc22221
dL?0，亦即
?L?L?L?L????0的解 ?x?y?z??(x,y,z,?)?(?a,0,0,a2),(0,?b,0,b2),(0,0,?c,c2) 二次型
122???122232dL??(1?2)????(1?2)????(1?2)??? 2abc对于每个稳定点在相应的切平面上分别有
a222a232b212b232c212c222(1?2)(?)?(1?2)(?),(1?2)(?)?(1?2)(?),(1?2)(?)?(1?2)(?)
bcacab因为(0?a?b?c)，根据给出条件极值存在性和不存在性的充分条件定理可知，在点(?a,0,0)和(0,0,?c)分别有minf函数fSS?a2和maxfS?c2，而在点(0,?b,0)?S，
没有极值。
由此题我们可以知道在应用多元函数条件极值存在的充分条件时，应当充分利用条件??TSx,写出带有?的TSx解析式，并把向量??(?1,?2,?,?n)的m个坐标
00?2L用其余的k个独立坐标线性表示出来，最后带入二次型ij(x0)?i?j,利用西尔
?x?x维斯特准则得到它的正定性，进而可以判定函数在该点是极大值点，极小值点，抑或无极值点。
再来看惠更斯问题，即在a和b两正数间插入n个数x1,x2,?,xn，使得分数
u?x1x2?xn的值是最大。
(a?x1)(x1?x2)?(xn?b)解：记??xxxx1bb设y1?2,y2?3,?,yn?，?(a?x1)(1?2)(1?3)?(1?)，
ux1x2xnx1x2xn并记A?y1y2?yn，则有x1?bbb?，??(a?)(1?y1)(1?y2)?(1?yn).
Ay1y2?ynAnnby??bndykbdyk又记m?a?，则有d???， dyk????(k?)?mAk?1ykmAykAk?11?ykk?11?yk令
y??b(k?1,2,?,n)，解之得稳定点P0(y1,y2,?,yn)，其?0得方程组k?1?ykmA?yk22
bn1中y1?y2???yn?()?1?y0.
a在点P0，有
ybdyk???d(k?)1?ymAykk?1knd2?P?P0P?P0ydy???d(k)(k)1?yky0k?1nP?P0??dyk?1????d??ayk?10?1?A??b?nP?P0nn???(P0)n2?(P0)aA?dy??dy(dy)?k??kk?a2?y0(1?y0)2k?1k?1?k?1byk?P?P0y0(1?A)P?P0bnn?(P0)?n22?2?dy?(dy)?0,(当dy?0时)???kkk?2?y0(1?y0)?k?1k?1k?1?
故函数?在点P0取得极小值，从而函数u在
bbb??nn?1?nx????ay?ay?y?ay01000n?Ay0a?2?x2?x1y1?ay0??3 ?x3?x2y2?ay0?????bb?1?n?1?1nx??ny?aay0?ay0y0?ay0n???b?即数a,x1,x2,?,xn,b构成有公比y0????a?1n?1的几何级数时，其值最大，并且u的
111n?1n?1?(n?1)?(a?b)最大值为u?.
a(1?y0)n?1本题中为了进一步确定点P0是否函数?的极值点，利用了d2?P?P0的解析式，并
判定了它的符号为正，进而得出点P0是函数?的极小值点，由多元函数微分形式的不变性可知，这种方法与本文已经讨论的多元函数条件极值的充分条件的判定方法实质上是等价的。 4. 一些著名不等式的证明
考虑证明赫尔德不等式和哈达玛不等式。
i?1,2,?n,,证明赫尔德不等式?aibi?(?a)(?bi),其中ai?0,bi?0,i?1i?1i?1nn1qqin1pp23
q?1,而
11??1. pqn证明：可以考虑函数f(x1,?,xn)??aixi在约束条件x1p?x2p???xnp?1下的
i?1最大值，用拉格朗日乘数法
L(x1,?,xn,?)??aixi??(?xip?1)
i?1i?1nn??L??x?i???L????1?1nqq??=(?ai)p?1pi?1?ai??pxi?0?1?解得 ?p?1nai?xi???xip?1?01n?qpi?1(?ai)?i?1?nnn而dL???p(p?1)?x2i?1p?2idx?0,(当?dx?0时)，从而知f(x1,?,xn)??aixi2i2ii?1i?1在点(ani?11p?111qpi,?,ani?11p?1n1qpi)取得极大值，极大值为
(?a)(?a)f(x1,x2,?,xn)max?(?aixi)max??aii?1i?1nnaini?11p?11p??ai?1ni?1nnqi1p(?aiq)(?aiq)?(?a)
i?1n1qqi亦即?aixi?(?a),可令xi?i?1i?1nn1qqibi(?bip)i?1n1p,代入得?aii?1bi(?bip)i?1n1p?(?a)，
i?1n1qqi亦即?aibi?(?a)(?bi)，则赫尔德不等式得证。
i?1i?1i?12证明哈达玛不等式，对于n阶行列式A?aij有A??(?aij).
2i?1j?1nnnn1qqin1pp2证明：令?aij=Si?0,i?1,2,?,n，考虑行列式A?aij,i,j?1,2,?,n在约束
j?1n24
2条件?aij=Si下的极值，由拉格朗日乘数法
j?1n2L(aij,?i)?A???i(?a?Si)??aijAij???i(?aij?Si)
2iji?1j?1j?1i?1j?1nnnnn??L??x?ij???L????iAij?a??ij2?i??Aij?2?iaij?01?n?2?2? 解得?n??Aij?2?1??aij?Si?0?i??j?1??j?12?Si????????nn1?则当m?n时，有?amjanj??amj2?n2?nj?1j?1Anj?aj?1nmjAnj?0，即矩阵(aij)的任意两
S10?0行正交，则有(aij)(aij)='0S2?0???000Sn??Si
i?1n?2?A??ij?nnj?122'2??0,因而Amax??Si，带此时有A?(aij)(aij)??Si,而dL??2?i????Si?i?1i?1????2入得证哈达玛不等式A??(?aij)。
2i?1j?1nnn12由以上两个著名不等式的证明过程我们可以发现，用多元函数的条件极值问题求解方法有时可以另辟蹊径，化繁为简，创造性地完成证明过程。
总结
多元函数极值问题在现实的社会科学、工程技术和工农业生产中涉及最优化问题时也有很广泛的应用，例如在一定的消费水平下，消费者如何在不同的商品之间选择使自己得到的效用最大；在给定的各种原材料价格给定的情况下，施工队如何合理运用各种原材料修建一条公路而使造价最少,在一定的人力物力条件下，生厂商如何安排几种商品的生产才能使利润达到最大化等等，所有这些问题其实质就是多个变量在一定约束条件下实现目标最优化的运筹问题，其实质就是多元函数极值问题。
多元函数极值问题是多元函数微分学的重要组成部分，对于它的探究可以在多元函数微分学这个高等数学分支上进行有益的理论尝试和创新，本文从二元函数的极值理论入手，结合高等代数，微分几何的相关内容探究了多元函数极值及
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多元函数条件极值理论，并针对临界条件下的情况给予了进一步讨论的方法，遗憾的是，限于篇幅和笔者水平，本文并未进行下一步的实质性讨论，但笔者坚信随着多元函数极值问题被越来越多的人关注和研究，它的理论必将更加完善，在实际中的应用也必将更加广泛。
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