m??L?f?Fi(x,?)?j(x)???i(x)?0(j?1,?,n)?j??xj?x?xi?1 ???L(x,?)?Fi(x)?0(i?1,?,m)????ii当向量组gradF(x),(i?1,?,m)在任意的点x?S上均线性无关且函数fS的极值
1n点为x0?(x0,?,x0)时，由上述方程可知变量?=(?1,?,?m)的值唯一确定，即得
求条件极值的拉格朗日乘数法。 3.条件极值的充分条件
S是用方程组设f:D??是定义在开集D??n上且属于C(2)(D;?)类的函数，
?F1(x0)?0?i(2)?????表示的D中的曲面，其中F?C(D;?)(i?1,?,m)且函数组?Fm(x)?00??F,?,F?在区域D中的任意一点的秩等于m。设拉格朗日函数
1mL(x)?L(x,?)?f(x,?,x)???iFi(x1,?,xm)
1ni?1m其中参数?1,?,?m已根据函数fnnS在点x0?S取极值的必要条件而选定。
?2Lij1n令H???ij??，其中??(?,?,?)?TSx0
i?1j?1?x?x1）如果H对任意向量??TSx0是半正定的，则点x0是函数f2）如果H对任意向量??TSx0是半负定的，则点x0是函数f3）如果H对任意向量??TSx0是不定的，则点x0不是函数f4）如果H?0，需作进一步讨论
S的局部极小值点； 的局部极大值点；
SS的局部极值点；
证明：首先注意到对于x?S，L(x)?f(x)，因此要证明点x0?S是函数f值点，需证明点x0?S是函数LSS的极
的极值点。由于函数fS在点x0?S满足取极
1n值的必要条件，即有gradL(x0)?0，这意味着函数L(x)在点x0?(x0,?,x0)邻域内的泰勒公式为
1nn?2L22iL(x)?L(x0)???ij(x0)(xi?x0)(xj?x0j)?o(x?x0),(limo(x?x0)?0)
x?x02!i?1j?1?x?x16
又由空间?n中曲面理论知存在光滑映射
(t1,?,tk)?t?x?(x1,?,xn)其中(t1,?,tk)??k,(x1,?,xn)??n(k?n?m) 可以将该映射写为x?x(t)，它把点0?(0,?,0)??k的邻域双方单值地映成点
1nx0?(x0,?,x0)?S??n的某个邻域且x0?x(0)，则有关系式
x(t)?x(0)?x'(0)t?o(t),(limo(t)?0)
t?0k?xi?xi?xi??等价于x(t)?x(0)??(0)t?o(t)其中i?1,?,n，?(0)t??j(0)tj
?t?tj?1?tii则有
L(x(t))?L(x(0))?122?ijL(x(0))??xi(0)??xj(0)t?t??o(t),limo(t)?0
t?02!'而对于向量??TSx0，可设?=x(0)t，由此知向量?在点x0与S相切，记
1k?=（?1,?,?n），x(t)?(x1,?,xn)(t)，t?(t,?,t)
jj?ii?则????x(0)t，????x(0)t
?2Lij可知二次型?ijL(x0)??x(0)??x(0)tt=??ij(x0)???H
i?1j?1?x?xij??nn1)如果H?0对任意向量??TSx0是半正定的，则L(x(t))?L(x(0))?0恒成立，点
t?0是函数L(x(t))的局部极小值点，由于映射t?x(t)把点t?(0,?,0)??k的某
nn个邻域变到曲面S上点x(0)?x0?(x10,?,x0)??的某个邻域，可知点x0是函数
LS的局部极小值点，进而是函数fS的局部极小值点；
2)如果H?0对任意向量??TSx0是半负定的，则L(x(t))?L(x(0))?0恒成立，点
t?0是函数L(x(t))的局部极大值点，同理可知点x0是函数LS的局部极大值点，
进而是函数fS的局部极大值点；
的符号无法确定，点t?0不是函数L(x(t))S(())Lx?((0)3)如果H为不定的，则Lxt的局部极值点，同理可知点x0亦不是函数L的局部极值点，进而也不是函数
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fS的局部极值点；
nn?2L1n4)如果H?0，即??ij(x0)?i?j?0，此时函数L(x)在点x0?(x0,?,x0)邻域
i?1j?1?x?x内的泰勒公式为
1n?3L33iL(x)?L(x0)??ijk(x0)(xi?x0)(xj?x0j)(xk?x0k)?o(x?x0),(limo(x?x0)?0)x?x03!i,j,k?1?x?x?x
?3L可考虑???ijk(x0)?i?j?k的符号，仿照以上证明方法作进一步的讨论。
i?1j?1k?1?x?x?xnnn四、函数极值问题的应用
1. 最小二乘法
二元函数极值理论最经典的应用当属于最小二乘法，我们对最小二乘法予以说明。经过实测得到n个数对(xi,yi),i?1,2,?,n，其中yi是在xi测得的值。在坐标平面上这n个数对对应n个点，设它们大体分布在一条直线附近。求一条直线
y?ax?b，使其在总体上与这n个点的接近程度最好。
将点(xi,yi)的坐标代入直线方程y?ax?b中，设?i?axi?b?yi，称?i是点
(xi,yi)到直线y?ax?b的偏差。易知若点(xi,yi)在直线y?ax?b上，则偏差
??0；若点(xi,yi)不在直线y?ax?b上，则偏差??0。此时?i可能是正数也可能是负数。为了消除符号影响，考虑?i2。于是偏差平方和的大小，即
??i?1n2i??(axi?b?yi)2
i?1n的大小在总体上刻画了这n个点与直线y?ax?b的接近程度。为了使其接近程度最好，也就是求以a与b为自变量的函数
f(a,b)??(axi?b?yi)2
i?1n的最小值。求函数f(a,b)最小值确定a与b（从而确定直线方程y?ax?b）的方法叫做最小二乘法。
解：函数f(a,b)的定义域是?2，解方程组
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nnn?'?n22?fa(a,b)?2?(axi?bxi?yixi)?0?a?xi?b?xi??xiyi??i?1i?1i?1i?1即 ??nnn?f'(a,b)?2(ax?b?y)?0?ax?bn?yi???biii??i?1i?1??i?1得唯一稳定点(a0,b0)：
nnn?n?xiyi?(?xi)(?yi)?i?1i?1?a0?i?1nn?n?xi2?(?xi)2??i?1i?1 ?nnnn?(?xi2)(?yi)?(?xiyi)(?xi)?i?1i?1i?1i?1?b0?nn?n?xi2?(?xi)2?i?1i?1?根据问题的实际意义，二元函数f(a,b)在?2内必存在最小值，又知其只有一个稳定点。因此二元函数f(a,b)必在该稳定点(a0,b0)取得最小值，得欲求直线方程y?a0x?b0。
亦可采用本文已经说明的二元函数极值存在的充分条件理论予以验证：
''(a0,b0)?2n f(a0,b0)?2?x，f(a0,b0)?2?xi，fbb''aan2i''abni?1i?1n?n22??f(a,b)?f(a,b)?f(a,b)?4(x)?nx则?=??00?0000i??0 ??i?i?1?i?1?''ab2''aa''bb''即??0，faa从而，唯一的稳定点(a0,b0)是函数f(a,b)的极小值点。(a0,b0)?0，
于是函数f(a,b)在稳定点(a0,b0)取最小值，即欲求直线方程是y?a0x?b0。 2. 二元函数极值的几何探讨
应用二元函数极值理论求极值的关键是求得这个二元函数的极值点，而针对一些不存在极值点的二元函数，该理论就束手无策了，此时我们可以考虑用本文已经讨论过的求二元函数极值的几何方法，笔者举了一个简单的例子以说明该方法是行之有效的，希望读者可以在具体的求解过程中将此方法应用并推广。
例如求二元函数z?(x?1)2?(y?1)2在?2中的极值 解：解方程组
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x?1?'z??x22(x?1)?(y?1)? ?y?1?z'?22?y(x?1)?(y?1)?得出偏导不存在的点(1,1)，作坐标变换
?x?X?1??y?Y?1则原函数变为Z?X2?Y2，原函数f(x,y,z)?0中的点(1,1,0)变为新?z?Z?函数F(X,Y,Z)?0中的点(0,0,0) 设方程Y?kX（k为任意常数）表示过得
z轴的平面，代入方程Z?X2?Y2中
Z?X2?k2X2?1?k2X 当X?0时，
dZdZ?0；当X?0时，?0 dXdX由一元函数极值判定定理知点X?0是函数Z?1?k2X的局部极小值点，且极小值为0，即函数Z?X2?Y2在点(0,0)取得极小值0，故函数
z?(x?1)2?(y?1)2在点(1,1)取得极小值0。
函数极值的几何意义有很多应用，笔者举一例以说明用它可以求得空间中点到直
线的距离公式。
求三维欧式空间?3的一点(a,b,c)到平面Ax?By?Cz?D?0的距离.
解：设平面上任意一点(x,y,z).此题就是求函数r=(x?a)2?(y?b)2?(z?c)2在约束条件Ax?By?Cz?D?0下的最小值。
由于r和r2的极值点相同，可以讨论函数r2=(x?a)2?(y?b)2?(z?c)2的极值点，根据拉格朗日乘数法，作辅助函数
L?(x?a)2?(y?b)2?(z?c)2??(Ax?By?Cz?D)
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