13?3?32f(a?h,b?k)?f(a,b)?[hf(a??h,b??k)?3hk2f(a??h,b??k)?33!?x?x?y3?33?3hkf(a??h,b??k)?kf(a??h,b??k)],0???123?x?y?y2可仿照n?1时的证明方法开展下去，作再进一步的讨论。 4.二元函数极值的几何意义
二元函数z?f(x,y)在三维空间坐标系中表示的是一张曲面，而函数f(x,y)在点P(a,b)邻域内的曲面可以看成是过点P(a,b)的所有平行于z轴的平面与在点P(a,b)邻域内的曲面z?f(x,y)相交产生的平面曲线的集合，所以曲面
z?f(x,y)在点P(a,b)邻域内的点也可以看成是在点P(a,b)邻域内的生成的平面曲线上的点。至于函数f(x,y)在点P(a,b)能否取得极值，是由点P(a,b)与其邻域内的点的函数值相比较而决定的。
I）当所有过点P(a,b)的生成平面曲线（可看成一元函数）在点P(a,b)都取得极大值时，则函数f(x,y)在点P(a,b)取得极大值；
II）当所有过点P(a,b)的生成平面曲线在点P(a,b)都取得极小值时，则函数f(x,y)在点P(a,b)取得极小值；
III）当所有过点P(a,b)的生成平面曲线中，有的在点P(a,b)取得极大值，有的在点P(a,b)取得极小值，或在点P(a,b)不取极值时，则函数f(x,y)在点P(a,b)不取极值。
可以得出用该方法求二元函数f(x,y)极值的步骤：
'?f?x(x,y)?01）由?'求出驻点或偏导不存在的点(xi,yi),i?0,1,2…；
??fy(x,y)?0?x?X?xi?2）作坐标平移变换?y?Y?yi，其中(X,Y,Z)为新坐标系中的点，新坐标系中的
?z?Z?原点为原坐标系中的点(xi,yi,0)，记为O，则原二元函数变为Z?f(X?xi,Y?yi)； 3）设Y?kX（k为任意常数），此方程在原坐标系中表示经过点(xi,yi,0)且平行
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于z轴的平面簇，而在新坐标系中表示过z轴的平面簇，进而得到平面簇的函数表达式：
?Z?f(X?xi,Y?yi)得Z?f(X?xi,kX?yi)，即自变量为X的一元函数，利用一?Y?kX?元函数求极值的方法求出极值，由于在坐标平移中z?Z，即得出原函数的极值。
二、多元函数极值
1. 多元函数极值的定义
设函数f:E??定义在集合E??m上，如果对于E的内点x0，存在邻域
U(x0)?E，对于任意x?U(x0)时，有f(x)?f(x0)（f(x)?f(x0)），则称函数f在E的内点x0有局部极大值（局部极小值）。
如果对于任意x?U(x0)\\x0有严格不等式f(x)?f(x0)（f(x)?f(x0)），则称函数
f在点x0有严格局部极大值（严格局部极小值）。
函数的局部极大值与局部极小值统称为函数的极值。 2.多元函数极值存在的必要条件
1m设函数f:U(x0)??定义在点x0?(x0,?,x0)的邻域U(x0)??m上，并且它
在点x0关于每个变量x0,?,x0存在偏导数。如果函数f在点x0有局部极值，则有
??f(x)?0,?,f(x0)?0 01m?x?x112m证明：考虑仅一个变量的函数?(x)?f(x,x0,?,x0)，由定理条件知，它在
1m实轴上的点x0上的某个邻域内有定义，并且在点x0上有局部极值，因此
1?'(x0)?11?12mf(x0,x0,?,x0)?01?x
类似地可以证明其余等式。
称向量(?1f(x0),?,?mf(x0))为函数f在点x0的梯度，记为gradf(x0)，
?x?x若该点的梯度为零（gradf(x0)?0）则点x0为函数f的稳定点。
需要指出的是函数的极值点一定是稳定点，但稳定点不一定是极值点。
3. 多元函数极值存在的充分条件
我们首先说明一下多元函数的泰勒公式，如果函数f:U(x)??在点x??m7
xxh?]Ux?()的邻域U(x)??m上有定义，并且属于函数类C(n?1)(U(x);?)，而[,则有
f(x?h,?,x?h)?f(x,?,x)??11mm1m，
11??(h1???hmm)kf(x1,?,xm)??x?xk?1k!n1??(h11???hmm)n?1f(x1??h1,?,xm??hm),0???1(n?1)!?x?x
证明：从单变量函数的泰勒公式入手，考虑辅助函数?(t)?f(x?th)，由已知条件知其定义在闭区间0?t?1上并且属于C(n?1)[0,1]，则其在t?0点的泰勒公式为
?(t)??(0)???(k)(0)?1k?1k!n1?(n?1)(?t),0???1 (n?1)!又由归纳法可知?(n)(t)?(h1?m?n???h)f(x?th) 1m?x?x?x则令t?0时得?(n)(0)?(h1?1???hm?m)nf(x1,?,xm)
?x11?(n?1)(?),0???1 令t?1时，得?(1)?f(x?h)??(0)???(k)(0)?(n?1)!k?1k!将函数?(t)用函数f(x?th)替换即可得证。
1m再来设f:U(x0)??是定义在点x0?(x0,?,x0)的邻域U(x0)??m上且属于
nC(2)(U(x0);?)的函数，点x0是函数f的稳定点，称矩阵
?fx1x1,fx1x2,?,fx1xm???mmf,f,?,f???x2x1x2x2x2xm?H????ijf(x0)???为函数f在点x0的Hesse矩阵，???i?1j?1?x?x?????????fxmx1,fxmx2,?,fxmxm??x0则
1） 当H为正定矩阵时，点x0是函数f的局部极小值点； 2） 当H为负定矩阵时，点x0是函数f的局部极大值点； 3） 当H为不定矩阵时，需进一步讨论。
证明：设h?(h1,h2,?,hm)?0且x0?h?U(x0)，讨论f(x0?h)?f(x0)的符号，
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由多元函数的泰勒公式
f(x?h,?,x?h)?f(x,?,x)??11mm1m11??(h1???hmm)kf(x1,?,xm)??x?xk?1k!n1??(h11???hmm)n?1f(x1??h1,?,xm??hm),0???1(n?1)!?x?x当n?1时
1m1mf(x0?h1,?,x0?hm)?f(x0,?,x0)?(h1
?m?1m???h)f(x,?,x00)?1m?x?x11??11(h1???hmm)2f(x0??h1,?,x0??hm),0???12!?x?x
又知点x0是函数f的稳定点，则gradf(x0)?0，即
h1?1mm?1mf(x,?,x)??=hf(x0,?,x0)=0 001m?x?x可得
1m1mf(x0?h1,?,x0?hm)?f(x0,?,x0)?11??1m(h1???hmm)2f(x0??h1,?,x10??h)2!?x?x1mmij?2111m=??hhf(x??h,?,x??h),0???100ij2!i?1j?1?x?x又知二阶偏导数在点x0连续，则
1mmij?22f(x?h,?,x?h)?f(x,?,x)=??hhf(x)?o(h)02!i?1j?1?xi?xj101m0m10m0??12?hh?h?f(x)?o(1),limo(1)?0???0ij??h?02!?i?1j?1hh?x?x?mmij2mm
可看出当h?0时，f(x0?h)?f(x0)符号完全由二次型??i?1j?1hihj?2f(x0)hh?xi?xj的符号决定，我们对它进行研究
mmhh1hmhihj?2f(x0)，它是定义在单位球面 令函数g()?g(,?,)???ijhhhh?x?xi?1j?1hS(0;1)??x??m|x?1?上的连续有界函数，又因为球面S是?m中的有界闭集，
于是函数g(x)上可以取得最小值m和最大值M。
1）如果H为正定矩阵，那么有0?m?M，即g(x)恒为正，f(x0?h)?f(x0)?0恒成立，点x0是函数f的局部极小值点；
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2）如果H为负定矩阵，那么有m?M?0，即g(x)恒为负，f(x0?h)?f(x0)?0恒成立，点x0是函数f的局部极大值点； 3）如果H为不定矩阵，不妨设H?0
I）当有m?0?M时，设em，eM是单位球面上的点，g(em)?m，g(eM)?M。令
h?t1em，其中t1?0充分小，使得x0?h?U(x0)，从而
f(x0?h)?f(x0)?112t1em(g(em)?o(1))?t12(m?o(1)) 2!2其中，当t1?0时，h?0，则o(1)?0，于是f(x0?h)?f(x0)的符号与m的符号相同，为负；类似地，亦可令h?t2eM，其中t2?0充分小，使得x0?h?U(x0)，从而f(x0?h)?f(x0)?1t2eM2!21(g(eM)?o(1))?t22(M?o(1))
2其中，当t2?0时，h?0，则o(1)?0，于是f(x0?h)?f(x0)的符号与M的符号相同，为正。即函数f在点x0的任意小邻域内既可以找到函数值大于f(x0)的点，又可以找到函数值小于f(x0)的点，故点x0不是函数f的局部极值点。 II）当有m?0=M，设e?是单位球面上的任意点，g(e?)???0。令h?te?，其中t?0充分小，使得x0?h?U(x0)，从而
f(x0?h)?f(x0)?1te?2!2(g(e?)?o(1))?12t(??o(1)) 2其中，当t1?0时，h?0，则o(1)?0，于是f(x0?h)?f(x0)的符号与?的符号相同，为非正，即f(x0?h)?f(x0)?0恒成立，点x0是函数f的局部极大值点；
III）当有m?0?M，设e?是单位球面上的任意点，g(e?)???0。令h?te?，其中t?0充分小，使得x0?h?U(x0)，从而
1f(x0?h)?f(x0)?te?2!21(g(e?)?o(1))?t2(??o(1))
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