其中，当t1?0时，h?0，则o(1)?0，于是f(x0?h)?f(x0)的符号与?的符号相同，为非负，即f(x0?h)?f(x0)?0恒成立，点x0是函数f的局部极小值点；
g(x)?0，IV）当有m?0?M时，即H=0。再次考虑多元函数的泰勒公式，当n?2时，有
?11?m?1m???h)f(x,?,x)?(h1?001m?x?x2！?x?1??1m11??hmm)2f(x0,?,x0)?(h11???hmm)3f(x0??h1,?,x0??hm),0???1?x3!?x?x1m1mf(x0?h1,?,x0?hm)?f(x0,?,x0)?(h1即为
?1mmij?2f(x?h)?f(x)??kf(x0)???hhf(x0)?ij2!i?1j?1?x?xk?1?xm???hihjhki?1j?1k?1mmm?f(x??h),0???1ijk?x?x?x3
又知gradf(x0)?0，及H=0得
?3f(x?h)?f(x)????hhhf(x??h),0???1 ijk?x?x?xi?1j?1k?1mmmijk可仿照n?1的证明方法开展下去，作进一步的讨论。 4. 多元函数极值的几何意义
首先说明一下曲面的第二基本形式，设曲面S:r?r(u,v)，在点P(u,v)的切平面为Tp，单位法向量为
n。现在我们计算曲面上点P(u,v)附近一点
Q(u??u,v??v)到Tp的有向距离?
??????PQ?n?[r(u??u,v??v)?r(u,v)]?n
由向量函数的泰勒公式
1??1??(?u??v)kr(u.,v)?(?u??v)n?1?u?v(n?1)!?u?vk?1k!r(u???u,v???v),(0???1)r(u??u,v??v)?r(u,v)??当n?2时
n11
22??1?22?2?r(u??u,v??v)?r(u,v)?(?u??v)r(u,v)?(?u?2?u?v??v2)2?u?v2!?u?u?v?vr(u???u,v???v),(0???1)可知
22??????1?22?2???PQ?n?[(?u??v)r(u,v)?(?u?2?u?v??v)22?u?v2!?u?u?v?v
12r(u???u,v???v)]?n=(ruu?n?u2?2ruv?n?u?v?rvv?n?v2)?o(r),2令II=ruu?n?u2?2ruv?n?u?v?rvv?n?v2，则近似的可有2?=II，即给定点的曲面的第二基本形式近似地等于曲面上该点的邻域内的点到该点的切平面的有向距离的两倍。
为了探究函数z?z(x1,x2,?,xm)的极值问题，考虑?m?1中超曲面
r(x1,x2,?,xm)??x1,x2,?,xm,z(x1,x2,?,xm)?的第二基本形式 II?n?(?x1rx1??x2rx2????xmrxm)2
其中n?rx1?rx2???rxmrx1?rx2???rxm，rxi?0,0,?,1,?,0,zxi
??e1e2?emem?110?0rx1?rx2???rxm=01?0??zx1zx2?(?1)m?1{zx1,zx2,?,zxm,?1} ?00?1zxm其中e1,e2,?,em,em?1是?m?1中的一组标准正交基 则n?11??zxii?1m(?1)m?1zx1,zx2,?,zxm,?1，又知rxixj?0,0,?,0,zxixj
????则
II=n????xi?xjrxixj?i?1j?1mm11??zxii?1m(?1)m?1zx1,zx2,?,zxm,?1?????z?1?z??(?1)m??dxidxj?0,0,?,0,?dxidxj???m?x?x?x?xi?1j?1?i?1j?1ij?ij??1??zximm2mm2i?1
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00,?,xm)是函数z(x1,x2,?,xm)的稳定点，即有 考虑点p0(x10,x2zx1?zx2???zxm?0，
,0,1)则n?(?1)m?1?0,0,?,0,?1?，与em?1?(0,0,?共线，即超曲面r(x1,x2,?,xm)过
00点P0?x10,x2,?,xm,z(p0)?的超切面平行于超曲面Ox1x2?xm。
可以令n?em?1，并规定em?1的方向为正方向，即超曲面r(x1,x2,?,xm)上点
0000P0?x10,x2,?,xm,z(p0)?附近点与过P0?x10,x2,?,xm,z(p0)?的超切面的有向距离
在超曲面r(x1,x2,?,xm)向em?1正侧弯曲时为正，反之为负。
00则在点P0?x10,x2,?,xm,z(p0)?处超曲面r(x1,x2,?,xm)的第二基本形式为
?2zIIP0?em?1????xi?xjrxirxj???dxidxj
?x?xi?1j?1i?1j?1ijmmmm00由曲面第二基本形式的几何意义可知，超曲面在点P0?x10,x2,?,xm,z(p0)?邻域内
1000的点到过P0?x1,x2,?,xm,z(p0)?的超切面的距离为??IIP，可对函数z在点
20?zx1x1,zx1x2,?,zx1xm????mm??zx2x1,zx2x2,?,zx2xm??p0的Hesse矩阵H????ijz(p0)???进行讨论 ??i?1j?1?x?x?????????zxmx1,zxmx2,?,zxmxm??p01）当H?0且为半正定时，IIP0?0，即存在点P0的某个邻域U(P0)使超曲面
r(x1,x2,?,xm)在过点P0的超切面的上方，即超曲面r(x1,x2,?,xm)在点P0取得极小值，点p0亦是函数z的极小值点；
2）当H?0且为半负定时，IIP0?0，即存在点P0的某个邻域U(P0)使超曲面
r(x1,x2,?,xm)在过点P0的超切面的下方，即超曲面r(x1,x2,?,xm)在点P0取得极大值，点p0亦是函数z的极大值点；
3）当H为不定时，IIP0的符号亦不定，即在点P0的任意小邻域U(P0)内，超曲面r(x1,x2,?,xm)有一部分点在过点P0的超切面的上方，有一部分点在过点P013
的超切面的下方，即超曲面r(x1,x2,?,xm)在点P0不取极值，则点p0亦不是函数z的极值点；
24）当H?0时，即超曲面r(x1,x2,?,xm)在点P0有n(?x1rx1??x2rx2????xmrxm)?0，
此时可取超曲面r(x1,x2,?,xm)的第二基本形式为
II?n(?x1rx1??x2rx2????xmrxm)?n????xi?xj?xkrxirxjrxk3i?1j?1k?1mmm?11??zxii?1m?3z(?1)???dxidxjdxk?x?x?xi?1j?1k?1ijkmmmm
而??12IIP0，可仿照II?n(?x1rx1??x2rx2????xmrxm)的方法作进一步的讨论。 3!三、有约束条件下的多元函数极值问题
1. 条件极值的定义
n设f:D??是定义在开集D??上且属于C(2)(D;?)类的函数，S是用变
?F1(x0)?0?i(2)量方程组?????表示的D中的约束条件，其中F?C(D;?)(i?1,?,m)，
?Fm(x)?00?如果存在D上满足变量方程组S的约束条件下的内点x0的任意小邻域，即
US(x0)?S?U(x0)（其中U(x0)是x0在D??n中的任意小邻域），如果对于任意x?US(x0)时有f(x)?f(x0)（f(x)?f(x0)），则称函数f在D的内点x0有满足约束条件S的局部极大值（局部极小值）；如果对于任意x?US(x0)\\x0有严格不等式f(x)?f(x0)（f(x)?f(x0)），则称函数f在点x0有满足约束条件S的严格局部极大值（严格局部极小值）。
从几何观点来看就是函数f在曲面S上的极值，更精确些说，就是函数f在曲面S的限制下的函数fS的极值。
2. 条件极值的必要条件
n(1)首先说明一个定理，设f:D??是定义在开集D??上且属于C(D;?)类
14
的函数，S是D中的光滑曲面且x0?S是f的非极值点，如果x0是函数fS的
局部极值点，则有TSx0?TNx0，其中TSx0是曲面S在x0的切空间，而TNx0是曲面
N??x?Df(x)?f(x0)?在x0的切空间。
证明：取任意向量??TSx0及曲面S上的一条光滑曲线x?x(t)且满足
x0?x(0)和dx(0)??。如果x0是函数fdtS的极值点，则光滑函数f(x(t))当t?0时
应当有极值，由极值必要条件知它在t?0时的导数为零，即满足条件f'(x0)???0，
?f?f?1n??(?,?,?)，由于x0是函数f的非极值点，上其中f'(x0)??，,?,(x)0?0n??x???x式即为切空间TNx0的方程，可知??TNx0，得证TSx0?TNx0。
?F1(x0)?0?如果曲面S在点x0的邻域内用方程组S:?????来表示，那么空间TSx0
?Fm(x)?00???F1?F11n??x1(x0)?????xn(x0)??0??可以用线性方程组?????来表示，而空间TNx0可以用方
??Fmm?F1?1(x0)????n(x0)?n?0??x??x?fm?fm1n程1(x0)????n(x0)??0来表示，则与关系式TSx0?TNx0等价的解析写法?x?xi是：向量gradf(x0)是向量gradF(x0)(i?1,?,m)的线性组合，即
mgradf(x0)???igradFi(x0)，该公式即为函数fi?1S在点x0取极值的必要条件。
1n拉格朗日在寻求条件极值时，引入了n?m个变量(x,?)?(x,?,x,?1,?,?m)i的辅助函数L(x,?)?f(x)???iF(x)，把求函数fi?1mS极值的必要条件转化为了
对函数L(x,?)求极值的必要条件
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