华南理工大学网络教育学院 《高等数学（上）》辅导
一、 求函数值 例题：
1、若f(x)?x2，?(x)?ex，则f(?(x))? ． 解：f(?(x))?f(e)??exx2??e2x
2、若f(x?1)?2x?1，则f(x)? ． 解：令x?1?t，则x?t?1 所以f(t)?2(t?1)?1?2t?3
即 f(x)?2x? 3
二、 常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理 常见的等价无穷小：
x?0时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx
x~ln(1?x)~ex-1
1211?cosx~x,1?x?1~x
22第1页 共23页
无穷小替换原理：在求极限过程中，无穷小的因子可以用
相应的等价无穷小替换
例题：
sin33x?？ 1、lim2x?0x解：当x?0，sin3x~3x，
(3x)3原式=lim2?lim27x?0
x?0x?0x
sin3x2、lim?？
x?0x解：原式=lim 3、lim3x?3
x?0x1-cosx?？ 2x?0x12解：当x?0，1-cosx~x
212x12 原式=lim2?
x?0x2
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4、limln(1?3x)?？
x?0x解：当x?0，ln(1+3x)~3x
原式=.lim3x?3. x?0x
e2x?1?？ 5、limx?0x解：当x?0，e2x?1~2x
2x 原式=.lim?2.
x?0x
三、 多项式之比的极限
x2?113x2?xx?，lim?? lim2?0，lim2x??3x?xx??x??3x?x3x
四、 导数的几何意义（填空题）
f?(x0)：表示曲线y?f(x)在点M(x0,f(x0))处的切线斜率
曲线..y?f(x)..在点M(x0,f(x0))处的切线方程为：
y?f(x0)?f?(x0)(x?x0)
曲线y?f(x)在点M(x0,f(x0))处的法线方程为：
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y?f(x0)??1(x?x0) f?(x0)例题： 1、曲线y?解：y?x?2?4?x在点M(2,3)的切线的斜率． 4?x(4?x)'(4?x)?(4?x)(4?x)? 2(4?x)x?28?(4?x)2
?2
x?2cosx2、曲线y?x在点M(0,1)处的切线方程．
e解：y?x?0(cosx)'ex?cosx(ex)? ?x2(e)x?0?sinxex?cosxex?(ex)2??1
x?0所以曲线y?cosx在点M(0,1)处的切线方程为： xey?1??(x?0)，即x?y?1?0
3、曲线y?13x2在点M(1,1)处的切线方程． 2??
3x?1第4页 共23页
25解：y?x?1??x33
所以曲线y?13x2在点M(1,1)处的切线方程为：
2y?1??(x?1)，即2x?3y?5?0
3
五、 导数的四则运算、复合函数的导数、微分 复合函数求导的链式法则：
y?f(u),u?g(x)?y?f[g(x)]:dydydu??dxdudx
或y?(x)?f?(u)?g?(x).
微分：dy?f?(x)dx 例题：
1、设y?x2?1，则y'?？
1?12解：y??x?1?2??x2?1???2'xx?12
2、设y?sinx2，则y'?？ 解：y?cosx??x'22'??2xcosx2
3、设y?2sinx，则dy?？ 解：y?2'sinxln2??sinx??2sinxcosxln2
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