1、( )是函数3x?x3的原函数．
1432141242A．3x?3 B．x?x C．x?x D．x?x
242解：因为??1?4x4?32x2?????3x?x3
所以14x4?32x2是3x?x3的原函数．
2、( )是函数xcosx2的原函数． A．?2sinx2
B．2sinx2
C．?1sinx22
?解：因为??12sinx2??1??2?(cosx2)?2x?xcosx2?所以12sinx2是xcosx2的原函数．
3、x 是( )的原函数
A．12x
B．12x C．lnx
解：因为?x???12x
所以x是12x的原函数．
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42D．1sinx22
D．x3
14、( )是函数的原函数．
x11A．2 B．?2 C．?lnx
xx1解：因为?ln|x|???
x1所以ln|x|是的原函数．
x
D．ln|x|
十、 凑微分法求不定积分（或定积分）
简单凑微分问题：?e2xdx，?sin4xdx，?cos5xdx,?lnxdlnx 一般的凑微分问题：
?x1?x2dx，
2x2?3xdx，?sinxlnx，dx?1?cosx?xdx
例题： 1、?x1?x2dx
解：注意到(1?x2)???2x
111?2?d?1?x??参考公式?原式=??dx?2x?C?
21?x2x?????1?x122??C
第12页 共23页
2、?x2?3x2dx
解：注意到(2?3x2)???6x
?23122?2原式=??2?3xd(2?3x)?参考公式?xdx?x?C?
36??1=?(2-3x2)3?C 9
sinx3、?dx
1?cosx解：注意到(1?cosx)???sinx
11??原式=??d(1?cosx)?参考公式?dx?ln|x|?C?
x1?cosx??=?ln|1?cosx|?C 4、?e5?xdx
解：原式=?e5?xd(5?x)参考公式?exdx?ex?C
=e5?x?C
5、?cos5xdx
??第13页 共23页
解：原式?1cos5xd(5x)参考公式?cosxdx?sinx?C ?5??1?sin5x?C 5
6、?sin3xdx 解：原式?1sin3xd(3x)参考公式?sinxdx??cosx?C ?3??1??cos3x?C
3
十一、 不定积分的第二类换元法——去根号（或定积分） 知识点：利用换元直接去掉根号：ex?1，ex?1，x，1?x，1?x等
例题： 1、求不定积分?1e?1xdx
解：令ex?1?t，则ex?t2?1?x?ln(t2?1) dx?2tdt 2t?112t1原式=??2dt?2?2dt
tt?1t?1第14页 共23页
??11dt??dt t?1t?1?ln|t?1|?ln|t?1|?C
?ln|ex?1?1|?ln|ex?1?1|?C
1dx． 2、?01+x4解：令x?t，则x?t2?dx?2tdt 当x?0时，t?0；当x?4时，t?2
2t?1?11原式=??2tdt?2?dt
01+t01+t2?2(?dt??021dt) 01+t22?2(2?ln|t?1|0)
?2(2?ln3)
3、?xx?1dx
01解：令x?1?t，则x?t2?1，dx?2tdt
当x?0时，t?1；当x?1时，t?2 21原积分??(t2?1)t?2tdt
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