?2?(t4?t2)dt
122?1513? ?2?t?t? 3?1?54 ?(2?1)
15
十二、 不定积分的分部积分法（或定积分）
诸如?xsinxdx，?xcosxdx，
x?x，xedxxe??dx，
?xlnxdx，可采用分部积分法
分部积分公式：?u(x)dv(x)?u(x)v(x)??v(x)du(x)
例题：
1、求不定积分?xsinxdx． 解 ?xsinxd?x? xx?d(cos ??xcosx??(?cosx)dx
??xcosx??cosxdx ??xcosx?sinx?C
2、求不定积分?xe?xdx 解 ?xe?xdx???xde?x
第16页 共23页
??xe?x??e?xdx
??xe?x?e?x?C
3、求不定积分?xlnxdx
12解 ?xlnxdx??lnxd(x)
2 ?121xlnx??x2dlnx 22121?xlnx??xdx 221212?xlnx?x?C 24
十三、 定积分的概念及其性质
知识点：定积分的几何意义，奇偶对称性等 例题：
1、定积分?xedx等于 ．
?aa3x2解： 因为xe是x的奇函数，所以原式=0 2、定积分?x2sin3xdx等于 ．
?aa3x2解： 因为x2sin3x是x的奇函数，所以原式=0
第17页 共23页
x2sinxdx等于 ． 3、定积分???1?x2?x2sinx解： 因为是x的奇函数，所以原式=0 21?x
十四、 变上限积分函数求导
变上限积分函数的导数公式??解?(x)af(t)dt?f??(x)???'(x)x3?'F(x)??a(C)f(t)dt,则F'(x)?______F'(x)?f(x3)?(x3)'＝3x2f(x3)
例题：
1、 设函数
f(x)在[a,b]上连续，F(x)??f(t)dt，则F?(x)?ax34（ C ）．
A．f(x)
B．f(x3)
x2C．3x2f(x3) D．3x2f(x)
2、设f(x)??arctantdt，则f?(x)?2xarctanx2．
1
3、设f(x)??sint3dt，则f?(x)?sinx3．
0x第18页 共23页
十五、 凑微分法求定积分（或不定积分） 思想与不定积分类似 例题：
1、?x2x3?1dx
01解：注意到(x3?1)??3x2
3??211332原式??x?1d(x?1)?参考公式?xdx?x?C?
330??12=(x3?1)3 902?(22?1) 9
十六、 定积分的第二类换元法——去根号（或不定积分， 思想与不定积分类似 例题： 1、?1dx． 01+x4解：令x?t，则x?t2?dx?2tdt 当x?0时，t?0；当x?4时，t?2
2t?1?11原式=??2tdt?2?dt
01+t01+t2第19页 共23页
?2(?dt??021dt) 01+t22?2(2?ln|t?1|0)
?2(2?ln3)
2、?xx?1dx
01解：令x?1?t，则x?t2?1，dx?2tdt
当x?0时，t?1；当x?1时，t?2 21原积分??(t2?1)t?2tdt
21 ?2?(t4?t2)dt
21??1 ?2?t5?t3? 3?1?5 ?4(2?1) 15十七、 定积分的分部积分法（或不定积分） 思想与不定积分类似 例题：
1、求定积分?xsinxdx．
第20页 共23页
?20