则dy?2sinxcosxln2dx
4、设y?sinex，则dy?？ 解：y?cose??e'xx'??excosex
所以dy?excosexdx 5、设y?e
六、 运用导数判定单调性、求极值 例题：
1、求y?xlnx的单调区间和极值． 解：定义域x?(0,??)
令y??lnx?1?0，求出驻点x?e?1
?x2，则dy?？（答案：?2xe?x2dx）
x y? y (0,e?1) - 单调减 e?1 0 极小值点 (e?1,??) + 单调增 函数的单调递减区间为(0,e?1]，单调递增区间为(e?1,??)
11 极小值为y()??．
ee
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2、求y?xe?x的单调区间和极值． 解：定义域x?(??,??)
令y??e?x?xex?(1?x)e?x?0，求出驻点x?1
x y? y (??,1) + 单调增 1 0 极大值点 (1,??) - 单调减 函数的单调递减区间为[1,??)，
单调递增区间为(??,1)，
极大值为y(1)?e?1．
3、求函数.f(x)?e?x2.的单调区间和极值．
解：定义域x?(??,??) 令f?(x)??2xe?x，得x?0
2(??,0) (0,??) 0 x y? + 0 - y 单调增 极大值点 单调减 单调递增区间：(??,0)，单调递减区间：(0,??)， 极大值为f(0)?1．
1324、求函数f(x)?x?x的极值．答案：极小值为y(1)??，
33第7页 共23页
极大值为y(?1)?2 3
七、 隐函数求导 例题：
1、求由方程ex?siny?xy2?0所确定的隐函数y?y(x)的导数
dy． dx解：方程两边关于x求导，得：
ex?cosy?y??(y2?2xy?y?)?0
y2?ex即 y??
cosy?2xy
2、求由方程y?cos(x?y)所确定的隐函数y?y(x)的导数
dy． dx解：方程两边同时关于x求导，得：
y???sin(x?y)(1?y?)
即
y???sin(x?y)
1?sin(x?y)第8页 共23页
3、求由方程y?sin(x?y)所确定的隐函数y?y(x)的导数dycos(x?y)dy． 答案： ?
dx1?cos(x?y)dx
4、求由方程xy?lnx?lny?0所确定的隐函数y?y(x)的导数
八、 洛必达法则求极限，注意结合等价无穷小替换原理 例题：
1??11、求极限lim?x?? x?0e?1sinx??sinx?(ex?1)解：原式?limx
x?0(e?1)sinxdydyy． 答案： ?? dxdxx
sinx?(ex?1)x ?lim. 当x?0时，sinx~x,e?1~x. 2x?0x??cosx?ex ?lim
x?02x?sinx?ex?lim x?021??
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2、求极限limx?0x?sinx?0??? 3tanx?0?解：原式=limx?0x?sinx tanx~x? ?当x?0时，3x1?cosx ?lim2x?03x12x12??2=lim2 1?cosx~x? ?当x?0时，x?03x2??1? 6
ex?x?1?0?13、求lim （答案：） ??2x?0x2?0?
九、 原函数、不定积分的概念及其性质 知识点：
设F?(x)?f(x)，则称F(x)是f(x)的一个原函数，
F(x)?C是f(x)的全体原函数，且有：
?f(x)dx?F(x)?C
例题：
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