线性代数基本定理 一、矩阵的运算
1.不可逆矩阵的运算不满足消去律 AB=O,A也可以不等于O
?11??1-1??00??÷?÷=?÷ è-1-1?è-11?è00?2.矩阵不可交换
(A+B)=A+AB+BA+Bk222
(AB)=ABABABAB...AB
3.常被忽略的矩阵运算规则
(A+B)T=AT+BT
(lA)=lATT
4.反称矩阵对角线元素全为0 4.矩阵逆运算的简便运算
111(diag(a1,a2,...,an))=diag(,,...,)
a1a2an-11-1(kA)=A
k-1 方法
1. 特殊矩阵的乘法
A．对角矩阵乘以对角矩阵，结果仍为对角矩阵。且：
B．上三角矩阵乘以上三角矩阵，结果为上三角矩阵 2.矩阵等价的判断
A@B?R(A)=R(B)
任何矩阵等价于其标准型
3.左乘初等矩阵为行变换，右乘初等矩阵为列变换 如：m*n的矩阵，左乘m阶为行变换，右乘n阶为列变换 4. 给矩阵多项式求矩阵的逆或证明某个矩阵可逆 如：A2-A-2I=O，证明(A+2I)可逆。
把2I项挪到等式右边，左边凑出含有A+2I的一个多项式，在确保A平方项与A 项的系数分别为原式的系数情况下，看I项多加或少加了几个。 5.矩阵的分块进行计算 加法：分块方法完全相同
矩阵乘法（以A*B为例）：A的列的分法要与B行的分法一致，如：
éêêêê?1-13-101000000002-1ùéúêúêúêúê??1-100001200003-114ùúúúú? 如红线所示：
左边矩阵列分块在第2列与第3列之间，那么，右边矩阵分块在第二行与第三行之间
至于蓝线，如何画，画不画，只画在哪个矩阵里都无所谓，分块数只决定了最后结果矩阵的行列，并不能决定矩阵是否能做乘法的原则性问题。 求逆：
如果A1,A2,...,Am均可逆，
若，则反块对角阵也一样，把反对角线上的矩阵求逆。 求转置：
块转置，每一块里面的也要转置 6.把普通线性组合式写成矩阵形式
二、行列式的计算
计算一般行列式时需注意： A． 代数余子式的正负
B． 初等变换用等号，行列式的值可能变化 1. 特殊形状行列式
上下三角行列式、反上下三角行列式
det(kA)=kdet(A) det(AB)=det(A)det(B)
块对角行列式（用拉普拉斯展开定理证明）
nAnn*OBmmOBmmAnn*=AnnO*Bmm*BmmAnnO=AB==(-1)nmnAB
det(diag(A1,A2,...An))=?det(Ai)i=1
2. 一般行列式的计算原则
A.按0多的行或者列展开，进行行列式的降阶 B.行列式中一行（列）出现加法的，可变成两个行列式 C.行列式如果某一行（列）有公因子的，可以提出来 其中，B点最容易被忽略掉！！！ 例题：已知abcd=1