于向量维数时，det(A)=0
4. 向量个数大于向量维数，向量组一定线性相关。（相当于未知量个数大于方程个数）
5. 对于一个向量组，局部线性相关则整体相关，整体无关则局部无关
6. 一组向量线性无关，多了一个变成线性相关，则多的哪一个可以用其他向量线性表示，表示式唯一（解方程时，多的那个向量系数肯定不是0）
7. 向量组的任意两个最大无关组都等价（于原向量组） 8. 再求向量组的秩时初等变换线性相关性不变对应着方程组的解不变 9. 设向量组表示，且
可由向量组线性无关，则
线性（系数矩阵
K为s*r，必须让方程的个数多一些）
10．若向量组I可由向量组II线性表示则R(I)<=R(II)，如果两个向量组等价，则它们的秩相等 11. 方程AX=b有解，则R(A)=R(A) 11.几个关于秩的四个不等式
R(AB)<=min(R(A),R(B))（和定理9的不等式有关） 若
Am*nBn*t=O,则R(A)+R(B)<=n（和基础解系有关）
R(A+B)<=R(A)+R(B)（也和定理9的不等式有关）
TR(AA)=R(A) (方程的同解)
12. AX=O的解向量的线性组合仍为AX=O的解向量 方法
一、判断向量组线性相关性： 1. 向量矩阵其次方程的解
2. 至少有一个向量能用其他向量线性表示，则向量组线性相关，否则线性无关 二、判断向量组等价：
A=KB，同时B=K’A，K为线性表示的系数矩阵，如果K为方阵且唯一（线性表示法唯一），看K是否可逆即可 经典题： 1. 向量组向量组
a1,a2,a3线性无关,问常数
l,m满足什么条件时,
la1+a2,a2+a3,ma3+a1线性无关．
2. A为m*n矩阵，B为n*m矩阵，m>=n，试证det(AB)=0
设A是m′3矩阵,且R(A)=1.如果非齐次线性组AX=b的三个解向量h1,h2,h3满足3. 方程 ?0??1??1????????2??3???1?,???2??2?,?3??1??0? 1?1??3???1???????，求AX=b通解
三、向量组的最大无关组
通过初等变换就可以求出最大无关组
判断最大无关组?向量组里的每一个向量均可由最大无关组表出
五、特征值与特征向量
定理
1. 如果ai是A在特征值l下的几个特征向量，那么ai的线性组合也是A在特征值l下的一个特征向量.线性组合组成特征子空间所以在求特征向量时，一定要有系数k（多解） 2. 三角矩阵（包括对角矩阵）特征值就是对角线上元素 3. l0是矩阵A的k重特征值，则l0对应的线性无关的特征向量不超过k，特征向量的个数为A的维数与特征矩阵的秩之差，为n-R(l0I-A)
4. 如果a是A在特征值l下的特征向量，那么a是f(A)在特征值f(l)下的特征向量
5. 某矩阵特征值的和为矩阵的迹，积为矩阵的行列式。（给特征值求行列式是一个知识点）因此有了以下命题： A可逆?A的任何一个特征值不为0
6. 相似矩阵具有相同的特征多项式，相同的特征值，相同的行列式、相同的迹（解决代参数的矩阵相似问题很快）、相同的秩。
7. A与B相似=>Am与Bm相似，多项式f(A)与f(B)相似 8. n阶矩阵A与对角阵相似?A有n个线性无关的特征向量 不同特征值的特征向量线性无关，所有特征值的特征向量构成一个向量组，它们线性无关 9. 两两正交的非零向量组线性无关
TTAA=AA=I?A的行列向量组都是标10. A为正交矩阵?
准正交向量组
11. 实对称矩阵不同特征值的特征向量两两正交
应用这个定理，可以在已知其他两个特征值得特征向量的情况下，求出第三个特征值对应的特征向量