第 一 单元 第 7 课 年 月 日 课题 三 维 教 学 目 标 知识与 能力 1.3 算法案例 案例1辗转相除法与更相减损术 （C层）1.理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。 （AB层）能根据算法语句与程序框图的知识设计完整的程序框图并写出算法程序。 过程与 在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对方法 比我们常见的约分求公因式的方法，比较它们在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。 情感、 1.通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学态度、 对世界数学发展的贡献。 价值观 2.在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力。 教 教学 理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。 学 重点 内 容 教学 把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。 分 难点 析 教 学 流 程 与 教 学 内 容 一、创设情景 （一）.教师首先提出问题：在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的公约数吗？ （二）.接着教师进一步提出问题，我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与6105的最大公约数？这就是我们这一堂课所要探讨的内容。 二、探究新知 （一）.辗转相除法 例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。 （分析：8251与6105两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数） 解：8251＝6105×1＋2146 显然8251的最大公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数。 6105＝2146×2＋1813 2146＝1813×1＋333 1813＝333×5＋148 333＝148×2＋37 148＝37×4＋0
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则37为8251与6105的最大公约数。 以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下： 第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0； 第二步：若r0＝0，则n为m，n的最大公约数；若r0≠0，则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1； 第三步：若r1＝0，则r1为m，n的最大公约数；若r1≠0，则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2； …… 依次计算直至rn＝0，此时所得到的rn－1即为所求的最大公约数。 练习：利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数（答案：53） （二）.更相减损术 我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。 更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母·子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。 翻译出来为： 第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。 第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。 例2 用更相减损术求98与63的最大公约数. 解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，即：98－63＝35 63－35＝28 35－28＝7 28－7＝21 21－7＝14 14－7＝7 所以，98与63的最大公约数是7。 练习：用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。（答案：12） （三）.比较辗转相除法与更相减损术的区别 1、都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。 2、从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到。 3、辗转相除法与更相减损术计算的程序框图及程序。 利用辗转相除法与更相减损术的计算算法，我们可以设计出程序框图以及BSAIC程序来在计算机上实现辗转相除法与更相减损术求最大公约数，下面由同学们设计相应框图并相互之间检查框图与程序的正确性，并在计算机上验证自己的结果。 （1）辗转相除法的程序框图及程序 程序框图： 22
开始输入两个正整数m，nm>n?否是x=nn=mm=xr=m MOD nn=rm=nr=0?否是输出n结束 程序： INPUT “m=”;m INPUT “n=”;n IF m
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1、225与135； 2、98与196； 3、72与168； 4、153与119。 （AB层）（二）.思考：用求质因数的方法可否求上述4组数的最大公约数？可否利用求质因数的算法设计出程序框图及程序？若能，在电脑上测试自己的程序；若不能说明无法实现的理由。 （A层）（三）、思考：利用辗转相除法是否可以求两数的最大公倍数？试设计程序框图并转换成程序在BASIC中实现。 四.课堂小结： 辗转相除法与更相减损术求最大公约数的计算方法及完整算法程序的编写。 课 后 学 习 教 学 反 思 五、课外作业： 作业：P48习题1.3(ABC层) A组1 (AB层)B组2 （A层）设计更相减损术求最大公约数的程序框图 更相减损术求最大公约数与辗转相除法求最大公约数有异曲同工之妙，各有优缺点，但前者的程序框图较难编写，对中等以下同学不宜作要求，可让学有余力的学生学生尝试编写，挑战自己的能力。 第 一 单元 第 8 课 年 月 日 课题 1.3 算法案例 案例2 秦九韶算法 知识与 能力 过程与 方法 情感、 态度、 价值观 教学 重点 三 维 教 学 目 标 （ABC层）了解秦九韶算法的计算过程，并理解利用秦九韶算法可以减少计算次数提高计算效率的实质。 （AB层）能模仿秦九韶计算方法求多项式的函数值。 模仿秦九韶计算方法，体会古人计算构思的巧妙。 通过对秦九韶算法的学习，了解中国古代数学家对数学的贡献，充分认识到我国文化历史的悠久。 教 秦九韶算法的特点 学 内 容 教学 秦九韶算法的先进性理解 分 难点 析 教 学 流 程 与 教 学 内 容 24
一、创设情景 我们已经学过了多项式的计算，下面我们计算一下多项式 f(x)?x5?x4?x3?x2?x?1当x?5时的值，并统计所做的计算的种类及计算次数。 根据我们的计算统计可以得出我们共需要10次乘法运算，5次加法运算。 我们把多项式变形为：f(x)?x2(1?x(1?x(1?x)))?x?1再统计一下计算当x?5时的值时需要的计算次数，可以得出仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结果。显然少了6次乘法运算。这种算法就叫秦九韶算法。 二、探究新知 1.秦九韶计算多项式的方法 f(x)?anxn?an?1xn?1?an?2xn?2???a1x?a0?(anxn?1?an?1xn?2?an?2xn?3???a1)x?a0?((anxn?2?an?1xn?3???a2)x?a1)x?a0????(?((anx?an?1)x?an?2)x???a1)?a0例1 已知一个5次多项式为f(x)?5x5?2x4?3.5x3?2.6x2?1.7x?0.8 用秦九韶算法求这个多项式当x?5时的值。 解：略 思考：（1）例1计算时需要多少次乘法计算？多少次加法计算？ （2）在利用秦九韶算法计算n次多项式当x?x0时需要多少次乘法计算和多少次加法计算？ P45练习2：利用秦九韶算法计算f(x)?0.83x5?0.41x4?0.16x3?0.33x2?0.5x?1 当x?5时的值，并统计需要多少次乘法计算和多少次加法计算？ 例2 设计利用秦九韶算法计算5次多项式 f(x)?a5x5?a4x4?a3x3?a2x2?a1x?a0当x?x0时的值的程序框图。 解：程序框图如下： 25