1 x Qx
( r ) ? dq = = 23 4??0 r 4??0 r
1 Qx
[ 223/2] i E =
4??0 (R+x)
·特例：当x>>R时，有 E ? Q 24??0x
圆环 ? 点电荷 可见，点电荷并非真正的“点”。
注意：直接对dE积分是常见的错误 一般 E ?? dE
[例2]求半径为R，面电荷密度为?的均匀带电圆盘在轴线上任一点产生的场强。
dS ?
p dE R x · o x
r dr
dq
11
解：·电荷元的取法：把圆盘分解为大小不同的带电细圆环(电荷元)。任取一半径为r、宽度为dr的圆环，其面积为
dS = 2?rdr
带电量为 dq = ?dS
·dq在轴上p点产生的电场由例一可知为
1 xdq ]
[ 223/2dE =
4??0 (r+x)
方向：沿+x 向
·考虑所有细圆环的贡献，即对上式积分
R 1 x ? 2?rdr ]
[ 223/2 E = ?dE = ?0
4??0 (r+x)
·结果：
x?[1 -E =221/2]2?0(R+ x)
·特例： (1)当x << R
? (?) E =2?0
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圆盘 ?“无限大”均匀带电平板 (2)当x >>R
[例3]均匀带电长直导线，长为L，带电量为Q，求距导线为x的任一点P点的电场强度。 解：·将导线分
L,Q y q
E ? 24??0x
圆盘 ? 点电荷
?2 ? 解为无限多个 点电荷，任取
dy y o dq r x 一个点电荷dq， dq = ? dy ? = Q/L 为导线上的线 电荷密度。
· · dEy ?1 P dEx x ? dE ·dq在P点产生的场强为
dq dE = 4??0 r3 r
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·dE的两个分量为
dEx = dE sin? ；dEy = dE cos? ·因 y = x tg(? - ?/2) = -x ctg? ，
dy = x csc? d? 222 r = y + x
·可得
2
dEx = ? sin? d?
4??0 xdEy = ? cos? d?
4??0 x·考虑导线上所有点电荷的贡献，对上两式Ex = ?dEx = ?? 1 ? sin? d?
x4??0
?2
? E·结果为 y = ?dEy = ? ?1 4?? x cos? d? 0
-? Ex = 4??x (cos?2 - cos?1) 0
? Ey = 4??x (sin?2 - sin?1)
0 ·场强的矢量式为 E = Ex i + Ey j
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积分
?2
大小为 E = (Ex2
+ Ey2)
1/2
和x轴的夹角大小为 ? = tg
-1 Ey
·特例：
Ex
(1)如果P点在导线的中垂线上，则 ?2 = ? - ?1 于是有 Ex = 2?? ? 0
x cos?1
cos?1 = L/2
[(L/2)2 +x2]1/2
Ey = 0
(2)如果带电导线为“无限长”直导线，则 ?1=0，于是 E?
x = 2??x ，(?)
0
Ey = 0
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