∴a=或a=9（舍）． ∴b=，
2
22
故双曲线方程为：4x﹣
2
=1．
点评： 本题考查了抛物线和双曲线方程的求法：待定系数法，熟练掌握圆锥曲线的性质是解题的关键，同时考查了学生的基本运算能力与运算技巧．
20．（12分）过抛物线y=2mx（m＞0）的焦点F倾斜角为
2
的直线交抛物线于A、B两点，弦
长为|AB|．命题p：|AB|≥4，命题q：方程+=1（m∈R）表示双曲线，如p∧q为假，
p∨q为真，求实数m的取值范围．
考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 简易逻辑．
分析： 通过抛物线的焦点坐标，直线的斜率，推出直线方程，然后联立方程组求出AB，通过p、q是真命题求出m的范围，然后通过的话明天的真假，推出结果． 解答： 解∵抛物线y=2mx（m＞0）∴焦点∵直线AB的倾斜角为
∴方程为
，
2
，
∴，
∴，
|AB|=x1+x2+m=4m 若P为真，则4m≥4 ∵m＞0 ∴m≥1，
若q为真，则（m﹣2）（m+1）＜0 ∴﹣1＜m＜2
∵p∧q为假，p∨q为真∴p，q一真一假 ①P真q假时
②p假q真时，
综上所述m∈（﹣1，1）∪[2，+∞）．
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点评： 本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，弦长公式的应用，复合命题的真假的判断与应用，考查分析问题解决问题的能力．
22
21．（12分）已知关于x的一元二次方程x﹣2（a﹣2）﹣b+16=0．
（1）若a、b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率； （2）若a∈[2，4]，b∈[0，6]，求方程没有实根的概率．
考点： 几何概型；古典概型及其概率计算公式． 专题： 概率与统计．
分析： （1）本题是一个古典概型，用（a，b）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件，基本事件（a，b）的总数有36个，
22
满足条件的事件是二次方程x﹣2（a﹣2）x﹣b+16=0有两正根，根据实根分布得到关系式，即可得到概率．
（2）本题是一个几何概型，试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，
22
满足条件的事件为：B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a﹣2）+b＜16}，求出两者的面积，即可得到概率．
解答： 解：设“方程有两个正根”的事件为A，
（1）由题意知本题是一个古典概型用（a，b）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件 依题意知，基本事件（a，b）的总数有36个，
22
二次方程x﹣2（a﹣2）x﹣b+16=0有两正根，等价于
，即，
则事件A包含的基本事件为（6，1）、（6，2）、（6，3）、（5，3）共4个 ∴所求的概率为P（A）=；
（2）由题意知本题是一个几何概型，
试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤4，0≤b≤6}， 其面积为S（Ω）=12
22
满足条件的事件为：B={（a，b）|2≤a≤4，0≤b≤6，（a﹣2）+b＜16}，如图中阴影部分所示，
其面积为S（B）=∴所求的概率P（B）=
+．
=
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点评： 本题考查古典概型和几何概型，几何概型和古典概型是高中必修中学习的，2015届高考时常以选择和填空出现，有时文科会考这种类型的解答题目．
22．（12分）已知椭圆
的离心率
，过点A（0，﹣b）和B（a，0）
的直线与原点的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E（﹣1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．
考点： 圆与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程． 专题： 综合题．
分析： （1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，依题意可得：，由此能求出椭
圆的方程．
（2）假设存在这样的值．
，得（1+3k）x+12kx+9=0，再由根的判别式和根
2
2
与系数的关系进行求解． 解答： 解：（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，
依题意可得：，
解得：a=3，b=1，
2
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∴椭圆的方程为．
（2）假设存在这样的值．
，
得（1+3k）x+12kx+9=0，
22
∴△=（12k）﹣36（1+3k）＞0…①， 设C（x1，y1），D（x2，y2），
2
2
则
而y1?y2=（kx1+2）（kx2+2）=kx1x2+2k（x1+x2）+4， 要使以CD为直径的圆过点E（﹣1，0）， 当且仅当CE⊥DE时， 则y1y2+（x1+1）（x2+1）=0，
2
∴（k+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0…③ 将②代入③整理得k=，
经验证k=使得①成立综上可知，存在k=使得以CD为直径的圆过点E．
点评： 本题考查圆与圆锥曲线的综合性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
2
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