全等三角形练习题 德胜教育
方法一：由△ABC≌△DEF，点B与点E重合， 得∠BAC=∠BDF，BA=BD． ∴点B在AD的垂直平分线上， 且∠BAD=∠BDA．
∵∠OAD=∠BAD-∠BAC，∠ODA=∠BDA-∠BDF， ∴∠OAD=∠ODA．
∴OA=OD，点O在AD的垂直平分线上． ∴直线BO是AD的垂直平分线，BO⊥AD．
方法二：延长BO交AD于点G，同方法一，OA=OD． 在△ABO和△DBO中， AB=DB BO=BO OA=OD ∴△ABO≌△DBO，∠ABO=∠DBO．
在△ABG和△DBG中， AB=DB ∠ABG=∠DBG BG=BG ∴△ABG≌△DBG，∠AGB=∠DGB=90°．
∴BO⊥AD．点评：本题考查了三角形全等的判定和性质以及旋转的性质，是基础知识要熟练掌握．
例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.
考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性在△ABG和△ADF中，
由 AB=AD ∠ABG=∠ADF=90° BG=DF ， 可得△ABG≌△ADF（SAS）， ∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，
又∵EF=DF+BE=EB+BG=EG，AE=AE， ∴△AEG≌△AEF（SSS）， ∴∠EAG=∠EAF，
∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90° ∴∠EAG+∠EAF=90°， ∴∠EAF=45°．
答：∠EAF的角度为45°．点评：本题考查了正方形各内角均为直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证∠EAG=∠EAF是解题的关键．
例2 D为等腰Rt?ABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。 （1） 当?MDN绕点D转动时，求证DE=DF。 （2） 若AB=2，求四边形DECF的面积。
考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：等腰直角三角形的性质得到CD平分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45°，CD=DA，
MCFAEBADFBEC质．分析：延长EB使得BG=DF，易证△ABG≌△ADF
（SAS）可得AF=AG，进而求证△AEG≌△AEF可得∠EAG=∠EAF，再求出∠EAG+∠EAF=90°即可解题．解答：解：延长EB使得BG=DF，
计算题．分析：（1）连CD，根据
A则∠BCD=45°，∠
CDA=90°，由∠DM⊥DN得∠EDF=90°，根据等角的余角相等得到∠CDE=∠ADF，根据全等三角形的判定易得△DCE≌△ADF，即可得到
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结论；
（2）由△DCE≌△ADF，则S△DCE=S△ADF，于是四边形DECF的面积=S△ACD，由而AB=2可得CD=DA=1，根据三角形的面积公式易求得S△ACD，从而得到四边形DECF的面积．解答：解：（1）连CD，如图， ∵D为等腰Rt△ABC斜边AB的中点， ∴CD平分∠ACB，CD⊥AB，∠A=45°，CD=DA， ∴∠BCD=45°，∠CDA=90°， ∵∠DM⊥DN， ∴∠EDF=90°， ∴∠CDE=∠ADF， 在△DCE和△ADF中，
∠DCE=∠DAF DC=DA ∠CDE=∠ADF ， ∴△DCE≌△ADF， ∴DE=DF；
（2）∵△DCE≌△ADF， ∴S△DCE=S△ADF，
∴四边形DECF的面积=S△ACD， 而AB=2， ∴CD=DA=1，
∴四边形DECF的面积=S△ACD=1 2 CD?DA=1 2 ．点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质． 1、已知四边形
A
B E
M
B A
E M
D
A
B F C D
C F D
C N
F N
N
（图3）
E
M
（图1） （图2）
ABCD中，AB?AD，BC?CD，AB?BC，∠ABC?120?，∠MBN?60?，∠MBN绕B点旋转，
AD，DC（或它们的延长线）于E，F．
当∠MBN绕B点旋转到AE?CF时（如图1），易证AE?CF?EF．
当∠MBN绕B点旋转到AE?CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
它的两边分别交
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2、（西城09年一模）已知:PA=2,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.
(1)如图,当∠APB=45°时,求AB及PD的长;
(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.
3、在等边?ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为?ABC外一点，且?MDN?60?,?BDC?120?,BD=DC. 探
究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及?AMN的周长Q与等边?ABC的周长L的关系．
图1 图2 图3
（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时
Q? ； L（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DM?DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时， 若AN=x，则Q= （用x、L表示）．
考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）由DM=DN，∠MDN=60°，可证得△MDN是等边三角形，又由△ABC
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是等边三角形，CD=BD，易证得Rt△BDM≌Rt△CDN，然后由直角三角形的性质，即可求得BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC=MN，此时 QL =2 3 ；
（2）在CN的延长线上截取CM1=BM，连接DM1．可证△DBM≌△DCM1，即可得DM=DM1，易证得∠CDN=∠MDN=60°，则可证得△MDN≌△M1DN，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立；
（3）首先在CN上截取CM1=BM，连接DM1，可证△DBM≌△DCM1，即可得DM=DM1，然后证得∠CDN=∠MDN=60°，易证得△MDN≌△M1DN，则可得NC-BM=MN．解答：解：（1）如图1，BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC=MN． 此时 Q L =2 3 ． （2分）． 理由：∵DM=DN，∠MDN=60°， ∴△MDN是等边三角形， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=60°，
∵BD=CD，∠BDC=120°， ∴∠BDC=∠DCB=30°， ∴∠MBD=∠NCD=90°， ∵DM=DN，BD=CD， ∴Rt△BDM≌Rt△CDN，
∴∠BDM=∠CDN=30°，BM=CN， ∴DM=2BM，DN=2CN， ∴MN=2BM=2CN=BM+CN； ∴AM=AN，
∴△AMN是等边三角形， ∵AB=AM+BM， ∴AM：AB=2：3， ∴Q L =2 3 ；
（2）猜想：结论仍然成立． （3分）．
证明：在CN的延长线上截取CM1=BM，连接DM1．（4分） ∵∠MBD=∠M1CD=90°，BD=CD， ∴△DBM≌△DCM1，
∴DM=DM1，∠MBD=∠M1CD，M1C=BM， ∵∠MDN=60°，∠BDC=120°， ∴∠M1DN=∠MDN=60°， ∴△MDN≌△M1DN，
∴MN=M1N=M1C+NC=BM+NC，
∴△AMN的周长为：AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC， ∴Q L =2 3 ；
（3）证明：在CN上截取CM1=BM，连接DM1．（4分） 可证△DBM≌△DCM1， ∴DM=DM1，（5分） 可证∠CDN=∠MDN=60°， ∴△MDN≌△M1DN， ∴MN=M1N，（7分）．
∴NC-BM=MN．（8分）．点评：此题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．
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例8．（2005年马尾）用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.
（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如
CF图13—1），通过观察或测量BE，
的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；
（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图13—2），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.
考点：菱形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．分析：（1）利用全等三角形的判定得出△ABE≌△ACF即可得出答案；
（2）根据已知可以得出∠BAE=∠CAF，进而求出△ABE≌△ACF即可；
（3）利用四边形AECF的面积S=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC求出即可．解答：解：（1）得出结论是：BE=CF，
证明：∵∠BAC=∠EAF=60°， ∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC， 即：∠BAE=∠CAF，
又∵AB=AC，∠ABE=∠ACF=60°，
∴ ∠BAE=∠CAF AB=AC ∠ABE=∠ACF ， ∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴BE=CF， （2）还成立，
证明：∵∠BAC=∠EAF=60°， ∴∠BAC+∠EAC=∠EAF+∠EAC， 即∠BAE=∠CAF，
又∵AB=AC，∠ABE=∠ACF=60°，
即 ∠BAE=∠CAF AB=AC ∠ABE=∠ACF ， ∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴BE=CF，
（3）证明：∵△ABE≌△ACF， ∴S△ABE=S△ACF，
∴四边形AECF的面积S=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC； 而S△ABC=1 2 S菱形ABCD，
∴S=1 2 S菱形ABCD．点评：此题主要考查了全等三角形的判定以及四边形面积，熟练利用全等三角形判定求出是解题关键． 解：（1）BE=CF.
证明：在△ABE和△ACF中， ∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°， ∴∠BAE=∠CAF.
∵AB=AC，∠B=∠ACF=60°，∴△ABE≌△ACF（ASA）. ∴BE=CF.
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