全等三角形练习题 德胜教育
（1）如图1，AE=AF．理由：证明△ABE≌△ADF（ASA） （2）如图2，PE=PF．
理由：过点P作PM⊥BC于M，PN⊥DC于N，则PM=PN．由此可证得△PME≌△PNF（ASA），从而证得PE=PF．
（3）PE、PF不具有（2）中的数量关系．
当点P在AC的中点时，PE、PF才具有（2）中的数量关系．点评：本题考查的是正方形的性质以及全等三角形的判定．
例8．（2005年马尾）用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.
（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图13—1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；
（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图13—2），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.
解：（1）BE=CF.
证明：在△ABE和△ACF中， ∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°， ∴∠BAE=∠CAF.
∵AB=AC，∠B=∠ACF=60°，∴△ABE≌△ACF（ASA）. ∴BE=CF.
（2）BE=CF仍然成立. 根据三角形全等的判定公理，同样可以证明△ABE和△ACF
1、用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.
（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时（如
A图所示），通过观察或测量BE、CF的长度，你能得出什么结论？并证明D你的结论； F
BEC（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时（如图所示），你在（1）中得到的结论还成立吗？说明理由。
6、 已知∠AOB=90°，∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直
角顶点与点C重合，它的两条直角边分别与OA、OB或它们的反向延
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长线相交于D、E。
当三角形绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），易证：CD=CE
当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2图3这两种情况下，上述结论是否成立，请给予证明，若不成立，请写出你的猜想，不需证明。
10、如图，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上一动点（点G与C、D不重合）， 以C为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于H。
（1）说明：△BCG≌△DCE；（2）BG与CD有何关系？为什么？（3）将正方形GCEF绕点C顺时针旋转，在旋转过程中，（1）、（2）中的结论还成立吗？画出一个图形，直接回答，不必说明理由。
如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）若AM+BM+CM的值最小，则称点M为△ABC的费尔马点．若点M为△ABC试求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数； （3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图②，的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，ABC的费尔马点．试说明这种作法的依据．
ACODAMDCOEBMEBADOCEMBADGHFCE接EN． 的费尔马点，分别以△ABC则点M即为△
B
考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：（1）结合等边三角形的性质，根据SAS可证△AMB≌△ENB； （2）连接MN，由（1）的结论证明△BMN为等边三角形，所以BM=MN，即AM+BM+CM=EN+MN+CM，所以当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小，从而可求此时∠AMB、∠BMC、∠CMA的度数；
（3）根据（2）中费尔马点的定义，又△ABC的费尔马点在线段EC上，同理也在线段BF上．因此线段EC与BF的交点即为△ABC的费尔马点．解答：解：（1）证明：∵△ABE为等边三角形， ∴AB=BE，∠ABE=60°． 而∠MBN=60°， ∴∠ABM=∠EBN． 又∵BM=BN，
∴△AMB≌△ENB．
（2）连接MN．由（1）知，AM=EN． ∵∠MBN=60°，BM=BN， ∴△BMN为等边三角形． ∴BM=MN．
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∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．
∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小． 此时，∠BMC=180°-∠NMB=120°； ∠AMB=∠ENB=180°-∠BNM=120°； ∠AMC=360°-∠BMC-∠AMB=120°．
（3）由（2）知，△ABC的费尔马点在线段EC上，同理也在线段BF上．
因此线段EC与BF的交点即为△ABC的费尔马点．点评：本题考查全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，是一道综合性的题目难度很大．
1.(2004河北)如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EA?AF． 求证：DE?BF． AD
E
FCB
2.E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF?45?，AH?EF，H为垂足，求证：AH?AB．
ADFHBEC
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3.在等边?ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，D为?ABC外一点，且?MDN?60?，?BDC?120?，BD?CD，探究：当点M，N分别爱直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及?AMN的周长与等边?ABC的周长L的关系．
?如图①，当点M，N在边AB，AC上，且DM=DN时，BM，NC，MN之间的数量关系式__________；此时Q=__________ L?如图②，当点M，N在边AB，AC上，且DM?DN时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
?如图③，当点M，N分别在边AB，CA的延长线上时，若AN=x，则Q=_________(用x，L表示)
4.如图，正方形ABCD中，?FAD??FAE．求证：BE?DF?AE．
ADFBEC
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11.已知：?ABC中，AM是中线．求证：AM?(AB?AC)．
2
AB?AC，?EDB??FDC．2.如图，在等腰?ABC中，过A作AE?DE，且AE?AF．求证： AF?DF，D是BC的中点，
A
EF
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