机械产品装配是整个机械产品制造过程的最后阶段，装配质量的高低，直接影响到机械产品的工作性能、使用效果、可靠性和服役寿命。而通过对机械零件装配过程进行研究分析，合理地建立起装配质量与零件偏差以及装配工艺参数的之间关系模型，即装配偏差模型，对于装配偏差的预测、诊断乃至最终产品的质量控制，显得尤为重要。装配偏差模型的研究，大体经历了基于零件刚性假设的模型研究到考虑零件柔性变形的装配模型研究的过程，国内外很多学者在这一过程中，都做出了相应的卓有成效的进步，国内外也相继出现了一些专门分析装配偏差的软件，不过现有的装配偏差分析软件主要是基于刚性假设，柔性偏差分析精度不高。
1. 基于刚性假设的装配偏差模型
刚体模型假设零件为刚体，在装配过程中不会发生变形，只有整体的移动或偏转。因此，对于刚性零件的装配，其装配偏差主要来源于零件本身的几何、形位公差以及装配定位偏差。装配链中所有组成元素按几何关系形成封闭环，称为形封闭，对装配偏差的分析主要是关于零件运动学的研究。基于刚性假设的装配偏差模型主要有尺寸链模型和确定性分析模型，此外，Whitney在其著作《Mechanical Assemblies》中基于多体齐次变换提出了一种Chains of Frames模型。 1.1 尺寸链模型
尺寸链是指零件在加工或装配过程中，由互相联系的尺寸按一定顺序首尾相接排列而成的封闭尺寸组，组成尺寸链的各个尺寸称为尺寸链的链环。其中，在加工或装配过程中最终被间接保证精度的尺寸称为封闭环，其余尺寸称为组成环。尺寸链模型可以同时描述尺寸偏差和几何特征偏差。对于简单的一维尺寸链，通过极值法（Worst Case, WC）或者统计法（Root Sum Square, RSS）很容易得到零件偏差与装配偏差的关系[1]，但对于二维或三维尺寸链，很难准确的得出零件偏差与装配偏差之间显示表达的函数关系（explicit assembly function），使求解变得困难，如公式1、2所示。
One-dimensionalAssembliesWorstCase,WC:dU??Ti?TASMRootSumSquare,RSS:dU????Ti??21/2Two-orthree-dimensionalAssemblies??f?dU?????xTi???TASM?i????f?2?2dU?????Ti??x????i??1/2?1?
?TASM?TASM?2?式中，xi——标准零件尺寸；
Ti——零件的公差；
dU——是装配偏差；
TASM——规定的装配公差极限；
f(xi)——零件偏差与装配偏差之间的关系的装配函数；
?f——零件尺寸对装配偏差的敏感系数，一维装配敏感系数为?1.0。 ?xi美国Brigham Young University在尺寸链模型的分析研究领域做出了很多贡献。Chase等提出了研究2D装配尺寸链的隐式分析模型[2]，并将装配过程中的偏差总结为三个主要的偏差源，即零件的尺寸偏差、零件的几何特征偏差以及装配运动调整量，其中前两个偏差源为独立变量，而后者则是非独立变量。如图1所示，尺寸P就是一个随着尺寸A、R以及?变动的运动调整量。
图1 零件偏差产生运动调整
通过将装配尺寸链中的零件尺寸以及运动调整量表达为矢量形式，Chase建立了一个基于运动装配的矢量环模型，如图2所示。而后，将矢量分量依此投影到x方向、y方向以及旋转方向，得到三个标量形式方程。从而建立起零件偏差与装配偏差间的隐式函数表达关系（implicit assembly function）。
图2 一个2D简单的矢量环模型图
?i?Hx??Licos???j??0i?1?j?1?n(3)(4) (5)?i?Hy??Lisin???j??0i?1?j?1?nH????j?0or360i?1n而后，利用直接线性化方法（Direct Linearization Method, DLM），即计算装配约束方程的一阶泰勒展开，通过线性代数的表达方式，获得装配偏差与零件偏差之间的敏感系数矩阵。最后回归到尺寸链计算的极值法或者统计法，预测装配偏差。闭环装配的约束方程经过一阶泰勒展开后可以得到以下形式：
??H??[A]??X??[B]??U??????式中：??H?——装配间隙的偏差
(6)
??X?——零件偏差（组成环，the variations of the manufactured variables）
（封闭环，the variations of the assembly variables） ??U?——装配运动调整量
[A]——对零件偏差（manufactured variables）的一阶偏导 [B]——对运动调整量（assembly variables）的一阶偏导
于是得到：
??U???[B]?1[A]??X??[S]??X?(7)
对于开环尺寸链，也可以相应的得到零件偏差与装配偏差之间的线性表达关系。随后利用极值法或者统计法，可以预测最终的装配偏差，如公式8、9所示：
WorstCase:?Ui??Sijtolj?TASMj?1n???8?
RootSumSquare:?Ui???Sj?1nijtolj?2?TASM?9?随后，Brigham Young University的J.Gao以及Chase等又进一步研究了3D尺寸链模型的直接线性化求解方法。相比2D空间的尺寸链模型，3D空间的模型显然更加复杂，各个装配矢量环的长度以及相对角度之间的关系需要用齐次变换的平移矩阵以及旋转矩阵来表达。通过对比直接线性化方法的求解结果与修正的蒙特卡罗仿真方法（Monte Carlo Simulation）得到装配偏差预测值，可以得出，当零件偏差相比零部件的名义尺寸较小，且装配函数为弱非线性时，直接线性法能够准确进行装配尺寸偏差计算[3]。
整体来说，尺寸链模型直观、简便，适用于零件连接关系比较简单的情况。然而对于装配关系复杂的产品，零件间常常存在多种装配特征，一个零件也经常与其它多个零件同时进行装配，其装配过程尺寸链关系往往难以提取，尤其在计算机辅助公差分析中，尺寸链的自动生成更加困难，因此具有较大的局限性。
1.2 确定性分析偏差模型
确定性分析的偏差模型主要研究夹具定位误差对零件装夹后产生的偏差的影响，主要用于夹具的稳健性设计。所谓确定性定位，即零部件空间6个自由度完全约束的状态。通过建立夹具对零部件定位的定位点处的约束方程，计算雅克比矩阵判断零部件是否处于确定性定位状态；而后通过对约束方程进行泰勒展开或相应推导（Heuristic Reasoning），得到零件偏差与定位偏差之间的关系。确定性分析研究的理论基础为运动学理论，研究方法主要有螺旋理论（Screw Theory）和齐次变换（Homogenous Transformation Technique）。
Cai等[4]将工件装夹过程中的偏差分为两大类，即零件由于装夹产生的位置方向偏差（resultant errors）以及夹具的定位偏差（source errors）。利用一种变分的方法推导出夹具定位点偏差与零件偏差之间的关系模型，并以此为基础提出夹具的稳健性设计的思路和方法，其在论文中指出，夹具设计主要分为三大问题，确定性定位(deterministic locating)、完全约束(total fixturing)和稳健性设计(robust design)。其中，确定性定位是指工件在定位方案下保持和所有定位块（locator）接触并不会发生无限小的变动的状态；完全约束是在确定性定位基础上，给工件施加夹紧力后，工件依然稳定的保持和所有的定位块相接触的状态；最后，稳健性设计就是要找到工件由于装夹产生的偏差对定位偏差敏感性最小的定位工况。 Cai的研究基于以下假设：首先，夹具以及零件均保持刚性；其次，定位块与工件的接触为点接触（point contact）；最后，夹紧力作为外加力大小可控。
图3 简化3D工件定位方案
如图3所示为一简化的3D工件定位图示，其中，OXYZ为固定的全局坐标系，而O'X'Y'Z'为固定在工件上的连体坐标系。由于工件表面定位点的法矢与过定位点的切平面内的任一矢量的点积为0，可得到每个定位点处的约束方程如下：
TT?i?n'T,iA(ri?r0)?n'iri'?0,i?1,m(10)
式中，ni'?[?Fi'/?x',?Fi'/?y',?Fi'/?z']T表示定位点处的法矢向量，Fi'(x',y',z')?0为定位点i处的工件表面方程，矩阵A为连体坐标系到全局坐标系之间的转移矩阵。则对于有m个定位点的定位系统，可以得到约束方程集合：
?(q0)?[?1,?2,,?m]T(11)
T其中，q0?[r0T,?T表示工件的六个自由度。这里，(e1,e2,e3)]?[x,y,z,e,e,e]0000123来自于欧拉参数(e0,e1,e2,e3)，表示工件的三个转动自由度。于是可以得到雅克比矩阵：
J?[J1,J2,???Ji??i??x0Jm]T??i?y0??i?z0??i?e1??i?e2??i???e3?(12)(13)
当且仅当雅克比矩阵满秩的时候工件可以被确定性定位(deterministic locating)。为了表达的简单方便，使连体坐标系与全局坐标系重合，即A?I。将式10带入13，化简后得到： 对于2D定位系统，
Ji????nix对于3D定位系统，
?niyniyxi?nixyi??(14)
Ji????nix?niy?niz2(nizyi?niyzi)2(nixzi?nizxi)2(niyxi?nixyi)??(15)
在施加夹紧力之后，利用欧拉牛顿方程对定位系统做静力分析，在第i个定位点，定位点受到的反作用力为：
???iFiC????i??x0???i?i?y0??i???i??z0?TT(16)
这里矢量?为一个拉格朗日算子：
??J?TAA??FT??T(17)
AAAC?FT这里F??为工件受到的夹紧力和夹紧力矩。最终，如果Fi中每一项??都非负，则定位系统在作用了夹紧力或夹紧力矩之后，工件仍然和每个定位点保持接触，即工件处于完全约束（total fixturing）状态。