一步研究了接触对柔性非线性零件装配工艺的影响，并分析了在接触过程中考虑零件表面摩擦是否可以提高分析精度。而后，Liao和Wang更通过搭建实验平台，通过实际对两块金属板进行装配，如图18所示。并与有限元软件分析的结果做比对，研究表明，考虑装配过程中零件的接触可以获得更高的分析精度，而零件见的摩擦对于装配偏差分析影响不大。实验过程中，Liao把金属板点焊装配通过在金属板接触部位焊点位置用螺栓连接替代，从而忽略了焊接热变形的影响，简化了模型。
图18 实际金属板装配实验平台
然而，此前的柔性装配偏差分析模型均没有考虑零件表面的微观几何特性的影响。因此，Liao和Wang[25]基于分形几何（Fractal Geometry）理论，结合有限元分析，研究零件表面的微观几何信息对装配偏差的影响。
客观自然界中的事物，普遍具有结构的不规则形，而这种不规则中又常常包含一种固有的自相似性，即事物的局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性。而装配的零件表面的微观几何信息无疑也具有这样的特性。分型理论正式研究这种特性的理论方法。在分形分析中，分形维数D是一个重要的参数。欧拉空间中物体的维数都是整数，一条直线维数为1，一个平面维数为2，但在客观自然界，有些物体维数不是整数。如图19-(b)所示的分形曲线的维数满足1＜D＜2。
图19 典型几何形状的分形维数
Liao和Wang引入了一个分形函数Weierstrass-Mandelbrot(W-M)函数，用来提取装配零件表面的微观几何信息。W-M函数的表达式如下：
X(t)?G(D?1)cos2?rnt?r(2?D)nn?n1?(60)
其中，D为轮廓表面的分形维数，G为一个度量常数。于是，通过测量仪器测量出零件表面轮廓的偏差数据，而后，利用功率谱密度分析（power spectrum analysis）结合对数变换，解得系统的分形维数以及度量常数。而后，将参数D和G带入W-M函数，综合计算重建零件表面微观几何偏差信息。之后，将这些偏差信息导入有限元分析，同样把装配过程简化为如图7所示的四个过程，建立了零件偏差与装配偏差之间的映射模型。研究结果表明，零件刚性越差，几何尺寸越小，则其表面微观几何信息对最终的装配偏差影响越大。利用分形理论分析装配偏差的流程示意图如图20所示：
图20 应用分形理论分析装配偏差流程图
Liao以及Wang[26]进一步将小波分析引入装配偏差建模。通过将测量出的零件偏差信息作为信号，应用小波变换（Wavelets Transform），将零件偏差分解为不同等级的偏差分量。而后，同样基于图7的装配偏差模型，将不同的分量依次导入有限元软件，分析各自对最终装配质量的影响，从而识别出对装配偏差影响大的零件偏差等级，用于指导装配规划，提高装配质量。利用小波变换分析装配偏差的思路如图21所示。
图21 利用小波变换分析装配偏差的流程图
3. 基于刚柔综合的装配偏差建模
传统基于刚性假设的装配偏差分析模型存在精度比较低的问题，尤其是面对航空航天以及汽车工业中常用到的柔性较大的金属板装配问题时，常常显得力不从心。但现有的柔性装配偏差分析模型一般求解过程十分复杂，存在耗时长，效率低的问题，很多情况下可用性不强。这种情况下，一些学者在分析柔性薄板装配乃至加工系统中夹具设计时，应用了一种刚柔综合的分析方法。
与传统分析方法相比，刚柔综合的偏差分析方法把零件装配过程中出现的偏差分为两大类，即刚体位移（kinematic variation or rigid-body error）以及柔性变形（static deformation）。基于小偏差、小变形、材料线弹性的大前提，分别用刚性分析的方法（确定性分析，齐次变换矩阵法等）计算零件装配过程中的刚体位移，以及柔性偏差分析的方法（有限元分析，影响系数法等）计算零件装夹过程中的变形，最后利用叠加原理，求得零件装配过程中的偏差。
Zhong和Hu[27][28]研究了加工系统中零件装夹后的偏差。基于这种刚柔综合的偏差建模思想，分别利用齐次变换矩阵法（HTM）和有限元方法（FEM）计算零件的刚性偏差和柔性变形。其中，刚性偏差的产生是由于定位块的误差以及工件表面的几何误差；柔性偏差是由于工件在夹紧力作用下产生变形。研究工作的假设有：
1) 偏差源分为刚性运动偏差和静态变形，且偏差很小，适用与叠加原理； 2) 不同夹持点的夹紧力同时施加到工件上，夹紧力方向垂直于定位基准面，并
且不计摩擦；
3) 夹具以及定位块等为刚体；
对于确定性定位（3-2-1定位）的零件，首先把工件表面用一系列离散的点
来进行表达，建立一种基于点的工件模型，如图22所示。
图22 基于点的工件模型
于是，这些点可以通过一个矩阵X0来进行表达，
X0?[p1p2?x1?ypm]0??1?z1??111]T,i?1~mxm?ym??zm??1?(62)(61)
pi?[xiyizi其中，pi?[xiyizi1]T表示工件表面一个点pi的齐次坐标。在实际仿真过程
中，这些点可以根据各自的公差分布使用蒙特卡洛仿真生成。装配过程中的刚性偏差主要来源于两个方面，即工件偏差及夹具偏差，分别用齐次矩阵Tp和Tf表示。由于工件的六个定位点存在几何偏差，工件的连体坐标系从理论的LCS变为X'?Y'?Z'（LCS'）。这个偏差能够分解为在LCS坐标系中表示的线性偏差
(?x,?y,?z)和角度转动偏差(??x,??y,??z)。其中，
??nx(y)?arctanwhennx(x)?0?????z??n(x)?x??0whennx(x)?0???y?arcsin(nx(z))??x??arcsin(ny(z))?nz(x)nz(y)nz(z)??nz(x)?x2?nz(y)?y2?nz(z)?z2???x???y????n(x)n(y)n(z)???n(x)?x?n(y)?y?n(z)?z?xx4x4x4??x??x???ny(x)ny(y)ny(z)??ny(x)?x6?ny(y)?y6?ny(z)?z6????z???????1
其中，nx，ny，nz表示坐标系LCS'的单位矢量，通过各个定位点在LCS坐标系中的坐标，可以解得：
nz?(p1?p2)?(p1?p3)/(p1?p2)?(p1?p3)nx?(p5?p4)?nz/(p5?p4)?nzny?nz?nx/nz?nx
最终，基于小偏差假设，矩阵Tp有以下形式：
??z???y?x??1?????1???yzx?Tp??(63) ???y???x?1?z??001??0于是，由于工件自身的定位基准面的几何误差，导致实际工件表面的任一点的坐
标P与该点在理想工件表面的坐标P'具有以下关系：
P?(Tp)?1P'(64)
同样，利用以上的计算方法可求出夹具定位点偏差的齐次矩阵Tf。综上可以得到工件装夹的刚性偏差具有以下形式：
P?(Tf)?1?(Tp)?1P'(65)
而后，基于线性小变形的假设，利用有限元软件可以得到工件每个节点的变形与夹紧力的关系：
U?CF(66)
式中，U表示工件表面各个节点在X，Y，Z方向的变形，C是工件的柔度矩阵，把U表达为齐次矩阵的形式，
?1?于是，基于叠加原理可以得到刚柔综合的工件装配偏差传递公式：
1??x1??yU??1??z1??1?xk??yk??,k:the number of points ?zk?(67)
P?(Tf)?1?(Tp)?1P'?U(68)
在此基础上，Zhong和Hu研究了4-2-1定位情况下基于刚柔综合的偏差模型[28]。对于一个4-2-1定位的工件，其主定位面有四个定位块，从而实际上可能出现5种定位方式，即工件主定位面被3个定位块支撑定位（3-2-1定位）或者被4个定位块同时定位支撑。因此，研究4-2-1定位情况下的偏差首先要判别出工件在夹具系统上实际的定位方式。
首先，同样利用蒙特卡洛仿真生成工件和夹具定位块的模型。不管工件实际处于哪种定位方式，其主定位面至少与2个定位块始终保持接触。因此需要判别工件与哪两个定位块始终保持接触，显然，对此过程起决定性作用的是z方向的偏差。分别将定位块坐标以及理论上与之接触的主定位面上的点的坐标表达为
(xi,0??xi,yi,0??yi,zi,0??zi)L和(xi,0??xi,yi,0??yi,zi,0??zi)W，i=1~4。因此，