综上所述，基于确定性分析的装配偏差建模方法能够有效解决刚性零件在3-2-1定位下装配三维尺寸链建模困难的问题，在分析尺寸较小且刚性较大的零部件装夹定位过程中的偏差传递有一定的分析精度和效率，但对于柔性较大的零件装配，其分析精度难以满足要求。 2. 考虑柔性的装配偏差模型
由于刚性装配偏差模型将装配系统中所有零部件假设为刚体，忽略了其在装配过程中的变形。装配分析主要分析的是零部件形封闭的过程，研究的内容是零部件的几何运动。但实际装配系统中，零部件是会发生变形的，尤其在汽车车身、飞机等装配工艺中，存在大量的薄板装配过程，柔性零件装配成为一个形封闭与力封闭相耦合的过程，装配过程演变为动力学的研究。因此，传统的基于几何运动学的偏差分析方法则不再适用。1980年，Takezawa[12]根据对汽车柔性薄板件装配测量数据的回归分析，指出：“the conventional addition theorem of variance is no longer valid for deformation sheet metal assemblies. The assembly variance has decreased (compared to part variances), and is closer to the variance of the stiffer part”，由此揭开了柔性装配偏差研究的序幕。由于柔性装配偏差分析要考虑零部件在装配过程中的变形、回弹，因此将有限元方法引入到装配偏差分析成为一种必然选择。在此基础上，各国学者对柔性装配偏差建模相继提出了一些开创性的研究方法和思路。
Liu和Hu考虑了薄金属板焊接装配的工艺，将薄金属板简化为一维悬臂梁，提出了一维偏置梁模型[13][14]。在模型中，Liu和Hu将金属板的装配分为串行装配（Assembly in series）和并行装配（Assembly in panel），如图6所示：
(a) 串行装配 (b) 并行装配
图6 串行装配与并行装配示意图
首先，两根需要焊接在一起的一维梁其末端存在偏差分别为v1和v2；在焊枪的作用下，将两根梁末端校正到理想位置，然后将其焊接在一起；最后，焊枪释放，在回弹的作用下，最终焊好的两根梁会产生v的偏差。
分析过程中，考虑梁最初的偏差很小，因此装配过程中梁的变形很小。因此假设装配过程中梁完全处于线性阶段；此外，将焊接的过程假设为仅仅是一个机械连接的过程，忽略了焊接热的影响。通过材料力学以及有限元工具的分析，最终回弹后产生的偏差与两根梁初始的偏差有如下线性的关系：
v?c1v1?c2v2(40)
(41)(42)若两根梁的偏差独立且服从正态分布，则最终装配偏差的均值与方差有以下关系：
??c1?1?c2?2?2?c12?12?c22?22
随后，Liu和Hu分析了装配顺序、多点焊接以及板厚等对装配偏差传递的影响，认为在并行装配过程中，零部件的几何偏差以及刚度均会影响到装配偏差；而在串行装配中，只有零件的几何信息会影响到最终的装配偏差。通过分析实验结果，还得出以下结论：(a)当工装偏差较小时，相同板厚时的装配偏差最小；(b)较厚板的偏差对装配偏差起主要影响作用；(c)当工装的偏差较大时，板厚相差越大则装配偏差越小。总体来说，一维偏置梁模型比较创新性的给出了柔性装配偏差建模的新思路，但是由于将薄板件简化为一维悬臂梁，不能考虑复杂零件三维的变形，因此这种模型局限性很大，计算结果精度较差。
在此基础上，Liu和Hu[15]对柔性金属板装配偏差建模做了进一步的深入研究。类似于一杯偏置梁模型，Liu和Hu将金属板焊接装配工艺简化为四个过程，如图7所示。
图7 金属板装配过程示意图
Liu和Hu先指出了一种通用的柔性装配偏差建模的方法，即蒙特卡洛仿真（Monte Carlo Simulation）结合有限元分析（FEA）的分析方法。首先利用蒙特
卡洛仿真的方法，通过一个随机数发生器生成零件偏差的分布，从而产生若干带偏差的零件模型。而后，对这些模型在装配过程中的装夹、焊接、释放过程进行有限元分析，最终得到回弹后工件的装配偏差分布。这种蒙特卡洛仿真的方法比较容易理解，理论上也能分析出比较准确的装配偏差，但实际操作过程十分复杂，计算量巨大，可操作性较低。采用结合有限元的蒙特卡洛仿真的基本流程如图8所示。
图8 直接蒙特卡洛仿真流程图
最终，Liu和Hu开创性的提出了柔性装配偏差分析的影响系数法（Method of Influence Coefficient， MIC）[15]。影响系数法分析装配偏差的假设有： (1) 装配过程中同时夹紧，同时释放回弹； (2) 装配过程中，零件变形处于线弹性阶段； (3) 零件材料各项同性；
(4) 装配过程中的夹具以及其他设备均为刚性； (5) 忽略焊接过程中的热变形影响。
如图7所示，假设零件最初存在偏差Vu，在夹紧力Fu作用下将其校正到理想位置，而后对零件进行焊接，则有：
?Fu???Ku??Vu?(43)
其中?Ku?是未焊接前工件的刚度，下标u表示未焊接(unwelded)。焊好后，夹紧力释放，零件回弹，最终产生装配偏差Uw。这一过程可看作是处在理想位置的装配体受到作用力Fw作用，最后产生偏差Uw，如图7-d所示，即：
?Fw???Kw??Uw?or?Uw???Kw??Fw??1(44)
其中?Kw?是焊接后装配体的刚度，下标w表示已焊接(welded)。并且?Fu?与?Fw?相等，?Fu???Fw?。综上可以得到零件偏差与装配偏差之间的关系：
?Kw??Uw???Ku??Vu??1?Uw???Kw??Ku??Vu??[Swu]?Vu?为了表达清楚，省去下标，得到：
(45)(46)
?U??[S]?V?(47)
其中?U?为回弹后的装配偏差，?V?为装配前的零件偏差，[S]表示装配偏差对零件偏差的敏感度矩阵（sensitivity matrix）。因此，通过蒙特卡罗法，利用随机数发生器生成零件偏差的分布，而后利用影响系数法，计算最终的装配偏差分布，可以有效的减轻直接蒙特卡罗法计算量大，计算效率低的问题，同时在装配偏差中考虑到柔性装配的影响。
基于前面提到的线性假设，影响系数法通过以下思路求出影响系数矩阵[S]。 (1) 单位力相应（Unit Force Response）
假设零件有N个偏差源，在第j个偏差源上作用沿着偏差方向的单位力（j=1~N），相应的零件的N个偏差源会产生变形为：
?c1j??c??2j??? ????cNj??则当第j个偏差源上作用的不是单位力，力的大小为Fj时，由线性前提，相应的零件的N个偏差源会产生变形为：
?c1j??c??2j???Fj ????cNj??由于线性条件下可以使用叠加原理，当零件每个偏差源上都作用有沿偏差方向的力Fj（j=1~N）时，则整个系统每个偏差源位置产生位移为：
?c1j??V1??c11c12?V?N?c??cc22?2??2j?21?V????????Fj?????j?1???????cV?N??cN1cN2?Nj?c1N??F1??F?c2N????2????C??F?????cNN???FN?? （48）(2) 矩阵求逆（Matrix inversion）
对公式48中的矩阵求逆，可以得到对于整个系统有：
?F?=?C??V?=?K??V??1（49）
?K?即为刚度矩阵。公式49还可以改写为：
?K1j??F1??F?N?K??2??2j???????Vj??j?1?????FN???KNj?? （50）上式中，刚度矩阵?K?的每一列矢量??K1j弹单位位移所释放的夹持力。
K2jKNj??可以认为是使得相应
T的第j个偏差源产生单位偏差所需要施加的夹持力，也可以认为是回弹过程中回(3) 回弹计算（Spring-back Computation）
将需要装配的零件在有限元软件中连接固定起来(tie)，则通过在装配系统上作用
??K1jK2jKNj??的力，从而得到由于第j个偏差源存在单位偏差所引起的
T装配回弹后产生的回弹量为：
?s1j??s??2j??? ????sMj??其中，M表示的是感兴趣的回弹测点数量。因此，当第j个偏差源存在偏差为Vj时，装配回弹后产生的回弹量为：
?s1j??s??2j???Vj ????sMj??当考虑每个偏差源的偏差量后，可以得到整体的回弹量为：
?s1j??s11?U1??s?U?N?s??2??2j?21?U????????Vj?????j?1??????sMj?UM???sM1??s12s22sM2s1N??V1??V?s2N????2????S??V?????sMN???VN?? （51）其中，?S?即是表征装配偏差与零件偏差之间关系的敏感系数矩阵。应用影响系数法分析柔性装配偏差的流程如图9所示。
假如零件偏差相互独立，则装配偏差的均值??a?以及方差??a2?与零件偏差的均值??p?和方差??p2?存在关系：