后半部分一定成立，因此，只要满足
LL就能满足稳定腔的条件，因此，?1?1，
R2R2就是平凹腔的稳定条件。
类似的分析可以知道，
凸凹腔的稳定条件是：R1?0R2?L,且R1?R2?L。
双凹腔的稳定条件是：R1?L，R2?L （第一种情况） R1?L，R2?L且R1?R2?L（第二种情况）
L R1?R2?R? （对称双凹腔）
2求解完毕。
3 激光腔的谐振腔由一曲率半径为1M的凸和曲率半径为2M的凹面镜构成，工作物质长度为0.5M，其折射率为1.52，求腔长L1在什么范围内谐振腔是稳定的。 解答如下：设腔长为L1，腔的光学长度为L，已知R1??IM，R2?2M，L0?0.5M，?1?1，?2?1.52，
12L2L2L2根据?A?D??1?，代入已知的凸凹镜的曲率半径，得到： ??2R1R2R1R212L2L2L2?A?D??1????1?L?L2 21M2M1M?2M因为含有工作物质，已经不是无源腔，因此，这里L应该是光程的大小（或者说是利用光线在均匀介质里传播矩阵）。
L?L0L0L1?0.50.5即L?1，代入上式，得到： ????1?211.52L?0.50.5?1?A?D??1?L?L2?1?L1?0.5?0.5????1? 211.52?11.52?1要达到稳定腔的条件，必须是?1??A?D??1，按照这个条件，得到腔的几何
2长度为：
1.17?L1?2.17，单位是米。解答完毕。
5 有一方形孔径共焦腔氦氖激光器，腔长L=30CM，方形孔径边长为d=2a=0.12CM，λ=632.8nm，镜的反射率为r1=1，r2=0.96，其他损耗以每程0.003估计。此激光器能否做单模运转？如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔光阑来选择TEM00模，小孔的边长应为多大？试根据图2.5.5作一大略的估计。氦氖激
0l光器增益由公式egl?1?3?10?4估算，其中的l是放电管长度。
d分析：如果其他损耗包括了衍射损耗，则只考虑反射损耗及其他损耗的和是否小于激光器的增益系数，增益大于损耗，则可产生激光振荡。
如果其他损耗不包括衍射损耗，并且菲涅尔数小于一，则还要考虑衍射损耗，衍射损耗的大小可以根据书中的公式δ00=10.9*10-4.94N来确定，其中的N是菲涅尔数。
0l解答：根据egl?1?3?10?4，可以知道单程增益g0L=ln(1+0.0003L/d)=0.0723
d2由于反射不完全引起的损耗可以用公式2.1.24或者2.1.25来衡量 根据2.1.24得到：
δr≈-0.5lnr1r2=0.0204
根据题意，总的损耗为反射损+其他损耗，因此单程总损耗系数为 δ=0.0204+0.0003 如果考虑到衍射损耗，则还要根据菲涅尔数来确定衍射损系数： 此方形共焦腔氦氖激光器的菲涅尔数为：N=a2/(Lλ)=7.6，菲涅尔数大于一很多倍，因此可以不考虑衍射损耗的影响。 通过以上分析可以断定，此谐振腔可以产生激光振荡。又根据氦氖激光器的多普勒展宽达到1.6GHZ，而纵模及横模间隔根据计算可知很小，在一个大的展宽范围内可以后很多具有不同模式的光波振荡，因此不采取技术措施不可能得到基模振荡。 为了得到基模振荡，可以在腔内加入光阑，达到基模振荡的作用。在腔镜上，基模光斑半径为： ?os?L???2.46?10?2cm 因此，可以在镜面上放置边长为2ω0s的光阑。 解答完毕。 6 试求出方形镜共焦腔面上TEM30模的节线位置，这些节线是等距分布吗？ 解答如下： 方形镜共焦腔自再现模满足的积分方程式为 ?i?ikL?aa''?mn?x,y???mn?e?x,ye???a??amn?L????ikxx'?yy'Ldx'dy' 经过博伊德—戈登变换，在通过厄密-高斯近似，可以用厄密-高斯函数表示镜面上场的函数 ?mn?x,y? ??CmnHm???2????x?Hn??L????x2?y2?L???2??y?e?L???cx2?y2?L??????2???2???H0??e?30?x,y??C30H3?xy?L???L??????x1?0,x2,3????使?30?x,y??0就可以求出节线的位置。由上式得到： ??2??3?2?????x?y???12???e?L????C30?8?xx?L?????L????????2232?，这些节线是等距的。解答完毕。 2l?7 求圆形镜共焦腔TEM20和TEM02模在镜面上光斑的节线位置。 解答如下：圆形镜共焦腔场函数在拉盖尔—高斯近似下，可以写成如下的形式 ?2r?n?2r??02s?cosm??Lm?2?e （这个场对应于TEMmn，两个三?????sinm???0s???0s?角函数因子可以任意选择，但是当m为零时，只能选余弦，否则整个式子将为零） m?mn?r,???Cmn??2?r2?2r?2?2r???02s?cos2??L0?2?e???r,???C20?对于TEM20：20 ??????sin2???0s??0s?22r2?2r2?并且L???2???1，代入上式，得到 ?0s?20?2r???02s?e?20?r,???C20?????0s?项 ， 根 据 题 中 22r2?cos2??，我们取余弦sin2??果 ， 我 们 取 所 r2要求的结 ?2r???02s?ec2?20?r,???C20?o??s0，就能求出镜面上节线的位置。既 ????0s?4对于TEM02，可以做类似的分析。 cos2??0??1??,?2?3? 42r22?2r?0?2r???02s0?2r????02?r,???C02??C02L2???2???L2??2?e?0s?0s??0s?020???02s??e ?r2?2r2?4r22r4L???2???1??2??4，代入上式并使光波场为零，得到 0s0s?0s??2r???02?r,???C02?????0s?020?4r2r???02s??1??e?0 24????0s?0s?24r2?2r2?4r22r4显然，只要L???2???1??2??4?0即满足上式 0s0s?0s?最后镜面上节线圆的半径分别为： 22?0s,r2?1??0s 22解答完毕。 8 今有一球面腔，两个曲率半径分别是R1=1.5M，R2=-1M，L=80CM，试证明该腔是稳定腔，求出它的等价共焦腔的参数，在图中画出等价共焦腔的具体位置。 1解：共轴球面腔稳定判别的公式是?1??A?D??1，这个公式具有普适性（教 2材36页中间文字部分），对于简单共轴球面腔，可以利用上边式子的变换形式 L0?g1g2?1判断稳定性，其中gi?1?。 Rir1?1?L8L8?1?，g2?1??1? R115R210g1g2?0.093，在稳定腔的判别范围内，所以是稳定腔。 任意一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价，一个一般稳定球面腔唯一对应一个共焦腔，他们的行波场是相同的。 等价共焦腔的参数包括：以等价共焦腔的腔中心为坐标原点，从坐标原点到一般稳定球面两个腔镜面的坐标Z1和Z2，再加上它的共焦腔的镜面焦距F，这三个参数就能完全确定等价共焦腔。 根据公式（激光原理p66-2.8.4）得到： L?R2?L?0.8??1?0.8?Z1????0.18M ?L?R1???L?R2??0.8?1.5???0.8?1??L?R1?L??0.8??1.5?0.8?Z2???0.62M ?L?R1???L?R2??0.8?1.5???0.8?1?L?R2?L??R1?L??R1?R2?L?0.8??1?0.8???1.5?0.8??1.5?1?0.8?F2???0.23522??L?R1???L?R2????0.8?1.5???0.8?1??因此F?0.485M 等价共焦腔示意图略。 9 某二氧化碳激光器采用平-凹腔，L=50CM，R=2M，2a=1CM，波长λ=10.6μm，试计算镜面上的光斑半径、束腰半径及两个镜面上的损耗。 解：此二氧化碳激光器是稳定腔，其中平面镜的曲率半径可以看作是无穷大。 根据公式（激光原理p67-2.8.6或2.8.7）得到： 题中g1?1???g2?s1??0s???g1?1?g1g2??1/4??g2?L?????g1?1?g1g2??1/41/4?1.687?10?6?1.316?2.22?10?6M ?s2??g1??0s????g1?gg12??21/4??g1?L??????g1?gg12??2?1.687?10?6?5.333?8.997?10?6M其中第一个腰斑半径对应平面镜。上式中?0S?L??是这个平凹腔的等价共焦 腔镜面上的腰斑半径，并且根据一般稳定球面腔与等价共焦腔的性质，他们具有同一个束腰。 根据共焦腔束腰光斑半径与镜面上光斑半径的关系可知： ?1.687?0?0S??1.193?M 21.414作为稳定腔，损耗主要是衍射损，衍射损耗与镜面上的菲涅尔数有关，在损耗不大的情况下，是倒数关系。 即： 1?? N根据公式（激光原理p69-2.8.18或2.8.19）分别求出两个镜面的菲涅尔数 a120.25?10?4Nef1???1.615?106 22??s13.1416??2.22?10?6?3.1416?8.997?10?6根据衍射损耗定义，可以分别求出： 11?1??6.2?10?7，?2??1.02?10?5 Nef1Nef2Nef1?a12??s21?0.25?10?4??2?9.831?104 a210 证明在所有菲涅尔数N?相同而曲率半径R不同的对称稳定球面腔 L?中，共焦腔的衍射损耗最低。这里L表示腔长，a是镜面的半径。 证明： ?R1?R2?2L??在对称共焦腔中，R1?R2? R1R2??f??22?11 今有一平面镜和一个曲率半径为R=1M的凹面镜，问：应该如何构成一个平—凹稳定腔以获得最小的基模远场发散角，画出光束发散角与腔长的关系。 解答： 我们知道，远场发散角不仅和模式（频率）有关，还和腔的结构有关。根据 公式2.6.14得到：?0?2?，如果平面镜和凹面镜构成的谐振腔所对应的等价f?共焦腔焦距最大，则可以获得最小的基模光束发散角。 L?R2?L??R1?L??R1?R2?L?f2??fmax?0.25m 2??L?R1???L?R2??代入发散角公式，就得到最小发散角为： ?0?2??? ?2?4f?0.25??发散角与腔长的关系式： ???0?2?2 f?l?1?l??13 某二氧化碳激光器材永平凹腔，凹面镜的R=2M，腔长L=1M，试给出它 所产生的高斯光束的束腰腰斑半径的大小和位置，该高斯光束的焦参数和基模发散角。 解答： L?R2?L??R1?L??R1?R2?L?F??1M 2?R1?R2?2L??2???0??1.128?3.67?10?3rad ??0F14 某高斯光束束腰光斑半径为1.14MM，波长λ=10.6μM。求与束腰相距 ?0?F??10.6?1.84?M 3.1416