（3）自发辐射光子数与初始时刻能级上的粒子数之比为:
n21? ?2??n2(0)V?S
此题有待确认
7 根据激光原理4.4节所列红宝石的跃迁几率数据，估算抽运几率W13等于多少时红宝石对波长694.3纳米的光透是明的（对红宝石，激光上、下能级的统计权重为f1?f2?4，且计算中可不考虑光的各种损耗）
解答：已知红宝石的S32?0.5?107S?1，A31?3?105S?1，A21?0.3?103S?1，
S21?0，S31?0 分析如下：增益介质对某一频率的光透明，说明介质对外界光场的吸收和增益相等，或者吸收极其微弱，以至于对进入的光场强度不会产生损耗。对于本题中的红宝石激光器，透明的含义应该属于前者。
根据公式： dn3??n1W13?n3?A31?S32??dt?dn2?n1W12?n2W21?n2?A21?S21??n3S32??（激光原理P146-4.4.22） dt?n1?n2?n3?n??B12f1?B21f2?B12?B21?
由上边的第二项和第四项，可以得到： dn2?n1W12?n2W21?n2?A21?S21??n3S32? --------------------------------------1 dt?B21??n1?n2??n2?A21?S21??n3S32dn又因为小信号下（粒子数翻转刚刚达到阈值）S32??A21，因此n3?0，且3?0
dtn1W13由此，方程组的第一个式子可以转变为：n3?，代入1式，得到：
A31?S32nWSdn2?B21??n1?n2??n2?A21?S21??n3S32??B21??n1?n2??n2?A21?S21??11332dtA31?S32
既然对入射光场是透明的，所以上式中激光能级发射和吸收相抵，即激光上能级的粒子数密度变化应该与光场无关，并且小信号时激光上能级的粒子数密度变化率为零，得到
nWSnWSdn2??B21??n1?n2??n2?A21?S21??11332??n2?A21?S21??11332?0?dtA31?S32A31?S32?
?B21??n1?n2??0?n1?n2?最后得到：
?A31?2?1?W13?A21?1??3.18?10S ?S?32??解答完毕。（验证过）
11 短波长（真空紫外、软X射线）谱线的主要加宽是自然加宽。试证明峰值吸
?2收截面为??0。
2?证明：根据P144页吸收截面公式4.4.14可知，在两个能级的统计权重f1=f2的条件下，在自然加宽的情况下，中心频率ν0处吸收截面可表示为：
A21v21 - ?12?224??0??N-------------------------------------------------1
1上式??N?（P133页公式4.3.9）
2??s1又因为A21?，把A21和ΔνN的表达式代入1式，得到：
?s?2?21?0
2?证毕。（验证过）
12 已知红宝石的密度为3.98g/cm3，其中Cr2O3所占比例为0.05%（质量比），在波长为694.3nm附近的峰值吸收系数为0.4cm-1，试求其峰值吸收截面（T=300K）。 解：
分析：红宝石激光器的Cr3+是工作物质，因此，所求峰值吸收截面就是求Cr3+的吸收截面。
根据题中所给资料可知：
Cr2O3的质量密度为3.98g/cm3×0.05%=1.99×10-3g/cm3,摩尔质量为52×2+16×3=152g/mol
设Cr3+的粒子数密度为n，则n=2×（1.99×10-3 /152）×6.02×1023=1.576×1019/cm3
?根据???12?n可知，?12?
?n3?1086.62?10?h??9?h?n2694.3?10KT??69，根据n≈n1+n2，Δn=n1-n2,且其中?e，?23KT1.38?10?300n1可知E2能级粒子数密度接近于零，可求出Δn=n1=1.756×1019/cm3 ，代入到
?34?12???n，可求出：
0.4/cm?1?12???2.55?10?20cm2 193?n1.576?10/cm解答完毕。 13 略
14 在均匀加宽工作物质中，频率为ν1、强度为Iν1的强光增益系数为gH(ν1,Iν
?1), gH(ν1,Iν1)--- ν1关系曲线称为大信号增益曲线，试求大信号增益曲线的宽度
ΔνH。 解：
大信号增益系数表达式为P153-4.5.17：
??(H)202gH(?1,I?1)?gH(?0)
I???(?1??0)2?(H)2[1?1]2IS根据谱线宽度的定义：增益下降到增益最大值的一半时，所对应的频率宽度，叫
做大信号增益线宽。
根据大信号增益曲线表达式可知，其中心频率处具有最大增益，即ν1=ν0时。在此条件下，增益最大值为：
10 gHmax(?0,I?1)?gH(?0)I?1[1?]ISI?1??H11?根据gH(?1,I?1)?gHmax(?0,I?1)，可求出当?1??0?时满足增益线2IS2宽条件，因此，线宽位：
I????2?1??0???H1?1
IS解答完毕。
15 有频率为ν1、ν2的两强光入射，试求在均匀加宽情况下： (1) 频率为ν的弱光的增益系数。
(2) 频率为ν1的强光增益系数表达式。
(设频率为ν1和ν2的光在介质里的平均光强为Iν1、Iν2) 解：在腔内多模振荡条件下，P151-4.5.7应修正为：
?n0?n0 ?n??I?1I?2I?i1????1??IS(?1)IS(?2)?i)iIS(根据P150-4.5.5可知，增益系数与反转粒子数成正比，即： g??n?21??,?0?
把修正后的反转粒子数表达式代入上式，得到：
?21??,?0??n0 g??n?21??,?0??I?i1???i)iIS(因此，所求第一问“频率为ν的弱光的增益系数”为：
0gH(?) gH(?,I?1,I?2)??n?21(?,?0)?I?1I?21??IS(?1)IS(?2)第二问“频率为ν1的强光增益系数表达式”为：
gH(?1,I?1,I?2)??n?21(?1,?0)?1?0gH(?1)I?1IS(?1)?I?2IS(?2)
解答完毕。
17 激光上下能级的粒子数密度速率方程表达式为P147-4.4.28所示。
(1) 试证明在稳态情况下，在具有洛伦兹线型的均匀加宽介质中，反转粒子数表达式具有如下形式：
???f??n0，其中????1?21?1????，??2，Δn0是小信?n??211???21?21??1,?0??Nlf1?2??号反转粒子数密度。
(2) 写出中心频率处饱和光强Is的表达式。 (3) 证明
?1??1时，Δn和Is可由P152-4.5.13及P151-4.5.11表示。 ?2
解：1 稳态工作时,由激光上、下能级的粒子数密度速率方程 (4.4.28)可得:
dnnf0?2?R2?2?(n2?2n1)?21(?1,?0)vNldt?2f1---------------------------------------------- 1
dnnnf0?1?R1?1?2?(n2?2n1)?21(?1,?0)vNldt?1?21f1---------------------------------------------2
f?n?n2?2n1f1------------------------------------------------------------------3 其中R1?0，R2?n0W03?2
由(3)式和(2)式可得:
ffnn2??n?2n1??n?2[?1(?n?21(?1,?0)vNl?2)]?f1f1?21
ff???n[1?2?1?21(?1,?0)vNl]?21n2f1f1?21整理得:
f1?2?1?21(?1,?0)vNlf1n2??n
f2?11?f1?21将(4)代入(1)式:
f1?2?1?21(?1,?0)vNlf1R2?2??n??n?2?21(?1,?0)vNl
f2?11?f1?21整理得：
?n?R2?2?f21??1?21(?1,?0)vNlf1?2?21(?1,?0)vNl?f?1?21f1?21n0W03?2(1?f2?1)f1?21f2?1f)?2?1?21vNf1?21f1?
?1??2?21(?1,?0)vNl(1??n0?1???21?21(?1,?0)vNl???f?其中????1?21?1????，??2，Δn0是小信号反转粒子数密度。
?21f1?2??(2)
f?1n0W03?2(1?2)f1?21?n??f2?1f21?[?2?21(?1,?0)(1?)??1?21(?1,?0)]vNf1?21f1n0W03?2(1??1?[?2?21(?1,?0)(1?f2f1f2?1)f1?21?I?1f?1)?2?1?21(?1,?0)]?21f1h?0f2?1)f1?21?n0W03?2(1??1??2?21(?1,?0)(1?n0W03?2(1??1?I?1IS(?1)?f2?1f)?2?1?21(?1,?0)f1?21f1I?1h?0f2?1)f1?21 当ν1=ν
?0)0时，IS(f?f?2?21(1?21)?2?1?21f1?21f1h?0?f???2?21?2?21(?1?12)f1?21h?0
(3) 高功率的激光系统中?2??21
?当1???1时，Δn和Is可由P152-4.5.13及P151-4.5.11表示
2
22 设有两束频率分别为?0???和?0???，光强为I1和I2的强光沿相同方向或