（Ⅰ）令cn=，求数列{cn}的通项公式；
2
（Ⅱ）若数列{bn}为各项均为正数的等比数列，且b3=4b2?b6，求数列{an}的前n项和Sn．
考点： 数列递推式；数列的求和． 专题： 等差数列与等比数列．
分析： （Ⅰ）由题意得an+1bn=an?bn+1+3bn?bn+1，从而，由此推导出数列{cn}
*
是首项为1，公差为3的等差数列，进而求出cn=1+3（n﹣1）=3n﹣2，n∈N． （Ⅱ）设数列{bn}的公比为q，q＞0，由已知得an=cnbn=
，n∈N，从而
*
，由此利用错位相减法能求出数列{an}的前n项和Sn．
解答： 解：（Ⅰ）由题意得an+1bn=an?bn+1+3bn?bn+1， 两边同时除以bnbn+1，得
，
又cn=
，
∴cn+1﹣cn=3， 又
，
∴数列{cn}是首项为1，公差为3的等差数列，
*
∴cn=1+3（n﹣1）=3n﹣2，n∈N．
（Ⅱ）设数列{bn}的公比为q，q＞0， ∵∴整理，得∴an=cnbn=∴Sn=1×∴
=
，
，
，∴q=，又b1=1， ，n∈N，
，
…++…+
，① ，②
*
①﹣②，得：
+…+
=1+3[=
=4﹣（6+3n﹣2）×=4﹣（3n+4）×（）， ∴Sn=8﹣（6n+8）×
．
n
﹣（3n﹣2）×
]﹣（3n﹣2）×
点评： 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用． 19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．
（1）若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF； （2）求四棱锥P﹣ABCD的体积V．
考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定． 专题： 空间位置关系与距离．
分析： （1）在Rt△ABC，∠BAC=60°，可得AC=2AB，PA=CA，又F为PC的中点，可得AF⊥PC．利用线面垂直的判定与性质定理可得：CD⊥PC．利用三角形的中位线定理可得：EF∥CD．于是EF⊥PC．即可证明PC⊥平面AEF．
（2）利用直角三角形的边角关系可得BC，CD．SABCD=V=
，即可得出．
．利用
解答： （1）证明：在Rt△ABC，∠BAC=60°， ∴AC=2AB， ∵PA=2AB， ∴PA=CA，
又F为PC的中点，
∴AF⊥PC．
∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥CD．
∵AC⊥CD，PA∩AC=A， ∴CD⊥平面PAC． ∴CD⊥PC．
∵E为PD中点，F为PC中点， ∴EF∥CD． 则EF⊥PC． ∵AF∩EF=F，
∴PC⊥平面AEF．
（2）解：在Rt△ABC中，AB=1， ∠BAC=60°，
∴BC=，AC=2．
在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60°， ∴CD=2，AD=4． ∴SABCD=则V=
==
．
．
点评： 本题考查了线面垂直的判定与性质定理、三角形的中位线定理、直角三角形的边角关系、四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 20．（12分）某学校就一问题进行内部问卷调查，已知该学校有男学生90人，女学生108人，教师36人．用分层抽样的方法从中抽取13人进行问卷调查．问卷调查的问题设置为“同意”，“不同意”两种，且每人都做一种选择．下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息． 同意 不同意 合计 教师 1 女生 4 男生 2 （Ⅰ）请完成此统计表；
（Ⅱ）根据此次调查，估计全校对这一问题持“同意”意见的人数；
（Ⅲ）从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同意”的概率．
考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法． 专题： 概率与统计．
分析： （I）根据所给的男生90人，女生106人，教师36人，用分层抽样的方法从中抽取13人，得到女生男生和教师共需抽取的人数，根据表中所填写的人数，得到空着的部分．
（II）根据由表格可以看出由表格可以看出教师同意的概率为，女生同意的概率是，男生同意的概率是，分别乘以相应的人数，得到同意的结果数．
（III）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，可以通过列举得到结果，然后根据古典概型概率公式得到结果． 解答： 解：（Ⅰ）统计表如下： 同意 不同意 合计 教师 1 1 2 女学生 2 4 6 男学生 3 2 5 （Ⅱ）∵由表格可以看出教师同意的概率为，女生同意的概率是，男生同意的概率是， ∴估计全校对这一问题持“同意”意见的人数为×36+×108+×90=108人
（Ⅲ）设“同意”的两名学生编号为1，2，“不同意”的四名学生分别编号为3，4，5，6， 选出两人则有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6）， （3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15种方法； 其中（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），8种满足题意， 则恰有一人“同意”一人“不同意”的概率为
点评： 本题主要考查古典概型、分层抽样、列举法等数学知识，考查学生分析问题解决问题的能力．考查运算求解能力，数据处理能力，应用意识函数与方程思想，分类与整合思想．
21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率为
，直
线y=x被椭圆C截得的线段长为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）．点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M，N两点．
（i）设直线BD，AM的斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1=λk2，并求出λ的值； （ii）求△OMN面积的最大值．
考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析： （Ⅰ）由椭圆离心率得到a，b的关系，化简椭圆方程，和直线方程联立后求出交点的横坐标，把弦长用交点横坐标表示，则a的值可求，进一步得到b的值，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）（i）设出A，D的坐标分别为（x1，y1）（x1y1≠0），（x2，y2），用A的坐标表示B的坐标，把AB和AD的斜率都用A的坐标表示，写出直线AD的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到AD横纵坐标的和，求出AD中点坐标，则BD斜率可求，再写出BD所在直线方程，取y=0得到M点坐标，由两点求斜率得到AM的斜率，由两直线斜率的关系得到λ的值；
（ii）由BD方程求出N点坐标，结合（i）中求得的M的坐标得到△OMN的面积，然后结合椭圆方程利用基本不等式求最值． 解答： 解：（Ⅰ）由题意知，∴椭圆C的方程可化为x+4y=a． 将y=x代入可得因此则b=1．
∴椭圆C的方程为
； ，
，解得a=2．
2
2
2
，则a=4b．
22
（Ⅱ）（i）设A（x1，y1）（x1y1≠0），D（x2，y2）， 则B（﹣x1，﹣y1）． ∵直线AB的斜率又AB⊥AD， ∴直线AD的斜率设AD方程为y=kx+m， 由题意知k≠0，m≠0．
2
2
2
，
．
联立，得（1+4k）x+8kmx+4m﹣4=0．
∴因此
．
．
由题意可得．
∴直线BD的方程为
令y=0，得x=3x1，即M（3x1，0）．
．