理论力学作业及试卷中典型错解选评
主编：江晓仑 制作：王桥川
? 错误解答 ? 错因分析 ? 正确解答
********************************************************************
前言
理论力学课程是工科各专业的主干课程，又是基础力学(理论力学、材料力学、结构力学)课程的第一门课程，广大学生在学习本课程时，总感到有些难学，尤其感到作题难。为了帮助广大学生克服学习理论力学课程时的困难，我们从多年积累的学生作业及考试试卷中所犯下的诸多常见错误中，选其典型的，选编了一部分，指出错因，给出正确解答，以使广大学生从过去人们常犯的错误中，吸取教训，加深对本课程的概念、公式、定理、原理、方法的理解，以便学好本门课程。
2006年10月
动力学（一）
题3-1 质量为m、摆长为l的单摆，角坐标的零位置为铅锤位置，自然坐标轴如图3-1所示。试建立摆锤的运动微分方程。
错误解答：
由质点动力学基本方程的自然坐标投影式，有
O?nlma??mgsin?，
FTMmg??，所以有 因为a??l????gsin??0 l? （1）
?图3—1
man??mgcos?
?2，所以有 因为an?l??2?gcos??0 l?错因分析：
?、???均以反上解中式（1）式错误的，因为题设?以反时针转向为正，故? （2）
??。 时针转向为正，这里，按照图示的切线方向，应有a???l?正确解答：
由质点动力学基本方程的自然坐标投影式，有
????mgsin? ma???F?，m??l?即
????gsin??0 l （1）
?2?FT?mgcos? man??Fn，ml?即
?2?mgcos? FT?ml? （2）
式（1）、（2）就是单摆的运动微分方程。
题3-2 质量为m的套筒，在绳子的牵引下可沿光滑水平杆滑动。绳子绕过不计尺寸的滑轮B后缠绕在半径为r的鼓轮上。且绳子和轮之间无相对滑动。若鼓轮以匀角速度ω绕O轴顺时针转动，求绳中拉力（表示为x的函数）。
BsOrFTmgFTmg?s??xL?A??xx?A??xx?xAFN(b)FN(c)
(a)图3—2错误解答：
??r?。套筒A的速度x?如图3-2（a）所示，则有 设AB段绳长为s，则sxx???s?cos???s????r? x （1）
ssx?r??s?xr??s?xs?x2xr2?2s???r? （2） x???2222ssx?L以套筒为研究对象，其受力图如图3－2（b）所示。由质点动力学基本方程，有
???FTcos? m?x于是有
（3）
?m?xs?2xr2?2FT????m??2?cos?x?x?L2?2xr2?2? ??223/2?x?L??错因分析：
1. 上解中式（1）是错误的，因为由图中几何关系有s2?x2?L2，所以
??x?ss?s?? s22xs?L2. 上解中式（2）的 计算有误，漏掉了一个负号。
???r?而非s??r?。 3. 当鼓轮顺时针转动时，AB段绳子缩短，即s正确解答： 由几何关系有
s2?x2?L2
上式对时间求一阶、二阶导数，有
s?r?x2?L2??s?? xxx?r????x?xxx2?L2??r?x2?L2?xx2L2r2?2??
x3以套筒为研究对象，其受力图如图3－2（b）所示。由质点动力学基本方程，有
???FTcos? m?x?m?xs?L2r2?2FT????m???cos?x?x3?mL2x2?L222?r? 4??x? 题3－3
质量为m的套筒A，在绳子的牵引下可沿光滑杆OO1滑动。绳子
的另一端缠绕在半径为r的鼓轮上，且绳与鼓轮之间无相对滑动。若鼓轮以匀角速度?绕O轴转动，求绳子拉力FT与x之间的关系。
??sy?xOrB??Amg(b)FTFN?s?xO?rBsA?FTFNvAsAvA?mgA??x(d)O1(a)O1(c)图3—3错误解答：
?，如图3－?，AB段绳长为s，绳子的速度为s设套筒A滑动的速度为vA?x
3（a）所示。于是有
?cos??s?，x??xx? ss
（1） （2）
?s?xs?xx??????xs
ss2
??r?，又因?为常量，所上式中s2?x2?r2。因绳与轮之间无相对滑动，故有s以
?s??0
将式（1）、（3）代入式（2），有
（3）
x??s?xs?s?s?xs?x???x?s2?0 2ss即套筒A作匀速直线运动，其受力图如图3－3（b）所示。于是有
FTcos??mg?0
mgsFT??mg?cos?x错因分析：
x2?r2mg x1. 上解中式（1）是错误的，因为由图示的几何关系，有x2?s2?r2，对时间求导数，得
??xs??s?cos? sx??r?。??r?而不是s??r?2. 上解中式（2）也是错误的，下面将要证明：s
正确解答：
由图示几何关系有
x2?s2?r2
（1）
上式对时间求导数，有
??xs??s?cos? sx （2）
但 s?rtan??rcot?，所以
?csc2? ?sec2???r???r?s （3）
令ABC段绳子长为l，鼓轮的转角为?，如图3－3（c）所示，则有
l?r??????s，dl??rd??ds
因为绳子缩短dl时，鼓轮转角增加d?，故有
?dl?d? r （4）
由式（4）有
?dldsd?d?1ds?d???d??，???? rrdtdtrst因为
d???，所以 dt