题3－10 不计质量得圆轮半径为R，可绕其中心水平轴O转动。在轮缘上沿切线方向焊接一质量为m，长为2R的均质杆。在AB水平位置无初速度释放。求该瞬时A处的约束反力。
y?MAACBxROOFOyFOxFAxFAyMAAC?BFAxFAymgCAR(a)RBCAR(b)BaC?(c)aC?(d)mgmg图3—10
错误解答：
（1）以整体系统为研究对象，其受力及运动如图3－10（b）所示。由刚体绕定轴转动微分方程，JO???MO(F)，有
JO??mgR
式中
JO?
（1） （2） （3）
142m?2R??mR2?mR2 123解得 ??mgRmgR3g?? 4JO4R2mR3
（2）以杆AB为研究对象，其受力图如图3－10（c）所示。由刚体绕定轴转动微分方程，JA???MA(F)，有
JA??mgR?MA
式中
JA? （4）
142m?2R??mR2，代入上式，得 3343gMA?mgR?JA??mgR?mR2??0
34R由质心运动定理，有
macx??Fx，因为acx?0，所以FAx?0 macy??Fy，mac??mg?FAy
（5） （6）
式（6）中ac??R??R?FAy3g3?g，代入式（6）中，得 4R431?mg?mac??mg?m?g?mg
44错因分析：
（1）上解中式（2）对于杆AB的转动惯量JO的计算是错误的。在应用转动惯量的平行移轴定理时，将O、C两平行轴之间的距离OC?2R误为R，从而导致了后面一系列的错误。
（2）上解中（4）是错误的，因为杆AB并非绕A作定轴转动，而是绕O轴作定轴转动，故JA??mgR?MA是错误的。A非固定轴，它是有加速度的。由于将杆AB绕O轴转动误为绕A轴转动，从而导致了质心加速度ac??R?也是错误的。
正确解答：
（1）以整体系统为研究对象，其受力及运动如图3－10（b）所示。由刚体绕定轴转动微分方程，JO???MO(F)，有
JO??mgR
式中 所以
JO?12m?2R??m2R12??2?7mR2 3??mgRmgR3g?? 7JO7RmR23（2）以杆AB为研究对象。杆AB绕O轴作定轴转动，已求得它的角加速度。由质心运动定理，?，质心加速度ac??2R?，其运动及受力如图3－10（d）有
macx??Fx，m??ac?cos45???FAx
所以
FAx??227g3mac???m?2R???mg 223R7macy??Fy，m?ac?sin45??FAy?mg
所以
FAy?mg?m?2R??227g4?mg?m?2R???mg 223R7??由刚体绕定轴转动微分方程，有
JO??mgR?MA?FAx?R
式中
JO?733gmR2，FAx??mg，?? 377R代入上式，得
73g3?3?MA?mgR???mg?R?mR2??mgR
737R7??题3－11 位于水平面内的均质光滑圆环，其质量为m，半径为R，可绕前
铅垂轴O转动。长为2R、质量亦为m的均质杆，其A端用光滑铰链连接于圆环内侧，其B端则靠在圆环内侧。圆环初始静止，其上作用一已知常力偶M。
试求杆端A、B所受的约束反力。
yyMBCAFNBBFNBaC?BFOyAORFOx?FAx?xAC?OxmgOFAyFAxFAy(a)(b)(c)
图3—11错误解答：
（1）以整体系统为研究对象，系统绕定轴转动，其受力图如图3－11（a）所示。由刚体绕定轴转动微分方程，JO???MO(F)，有
JO??M
2
（1） （2）
218JO?mR?m2R?mR2?mR2 上式中
33将式（2）代入式（1），得系统转动得角加速度为
????M3M ?JO8mR2 （3）
（2）以杆AB为研究对象，其受力图如图3-11（b）所示。对A应用动量矩
定理，有
RJA??FNB?R?mg? （4）
22123M式中 JA?m2R?mR2，??，代入上式中，得 2338mR??FNB?JA?123M1M1?mg?mR??mg??mg R234R28mR22对O轴应用动量矩定理，JO???MO(F)，有
JO??FAy?R?mg?R 2 （5）
则 式中
FAy?JO?R?mg? R22153MJA?m2R?mR2?mR2，??，代入上式，得 2338mR53M15M1FAy?mR??mg??mg
38R28mR22??对B轴应用动量矩定理，JB???MB(F)，有
JB??FAy?R?FAx?R?mg?R 2 （6）
则 式中
FAx?FAy?J?1mg?B 2R1JB?m2R3??2?FAx25M13MmR2，FAy??mg，??，代入上式，得 38R28mR25M1123M3M??mg?mg?mR?? 28R2238R8mR错因分析：
（1）上解中式（2）是错误得，在计算杆AB对O轴的转动惯量时，采用了对A轴的转动惯量加上从A轴平移到O轴的mR2。平行移轴定理讲的是，
Jz?Jzc?md2，其中Jzc是刚体对于质心轴的转动惯量，d是两平行轴之间的距
?2??2?21??m2R?m?? 离。于是，杆AB对O轴的转动惯量JO?Jc?m??2???12???2?2??2（2）系统位于水平位置，故图3－11（b）中不应有重力mg。
（3）动量矩定理的矩心必须是固定点或固定轴，因为它只适用于惯性参考
系。上解中对A点、B点应用了动量矩定理[式（4）、式（6）]都是错误的，因为A、B点都不是固定点，而是有加速度。式（5）是对O轴应用动量矩定理，是对的。但在计算杆AB对O轴的转动惯量时犯了与式（2）同样的错误。
正确解答：
（1）以整体系统为研究对象。其受力图如图3－11（a）所示。系统绕定轴转动，故应用刚体绕定轴转动微分方程，JO???MO(F)，有
JO??M
式中
2 （1）
?2R?15??mR2代入式（1），得 JO?mR2?m2R?m???123?2???2??M3M ?2JO5mR（2）以杆AB为研究对象，其受力图如图3-11（c）所示。杆AB绕O轴作定轴转动，故由刚体绕定轴转动微分方程JO???MO(F)，有
JO??FAy?R
故
FAy?JO? R2?2R?3M12??mR2，??式中 JO?m2R?m?，代入上式，得 2??5mR123?2?23M2MFAy?mR??
35R5mR2由质心运动定理，有
??2macx??Fx，mac?cos45??FAx 式中
ac??223M32MR??R??，代入上式，得 225mR210mR
FAx?m?32M23M ??10mR210Rmacy??Fy，mac?sin45??FAy?FNB
而
FNB?FAy?mac?sin45??2M32M2M?m??? 5R10mR210R