常量，质心初始坐标xC0?vC0t，而质量中心的初始速度为
vC0?m1?0?m2l?0km2l?0k ?m1?m2m1?m2质心的坐标
xC0?vC0t?在任意位置，有
xC?m2l?0kt
m1?m2m1xA?m2(xA?lsin?)
m1?m2因
xC0?xc?vC0t，所以
m1xA?m2(xA?lsin?)m2l?0k?t
m1?m2m1?m2于是，得小车得运动方程为
xA?lm2?k?0t?sin(?0sinkt)?
m1?m2
题3－7
求水柱对涡轮固定叶片压力的水平分力。已知水的体积流量为
Q，密度为?，水打在叶片上的速度为v1是水平的，水流流出的速度v2与水平成
?角。
错误解答：
取水柱 ABC为研究对象，由流体流经弯曲管道时所产生的附加动压力公式，水柱对叶片的动压力的水平分力为
Fx??Q?v2cos??v1? （1）
错因分析：
1. 所求Fx（图示方向向右）不是水柱对叶片的水平动反力，而是叶片对水柱的水平动反力，因为所取的研究对象是水柱。
2. 式（1）是错误的，因为理想流体流经弯曲管道时所产生的附加动压力公式为
FxB?v2A?v1xCv2
图3—7FN??Q?v2?v1? （2）
也即，流柱受到的动反力等于单位时间内，流出流体的动量?Qv2和流入流
体的动量?Qv1的矢量差。本题有一个入口、两个出口，对于理想流体，总的流量应为Q，而分别从B、C两个出口流出的流量QB和QC之和应等于总流量，即
Q?QB?QC
因此，单位时间内流出的水的动量应为
dp2??QBv2??QCv2 dt于是，当水流有一个进口、两个出口的情况下，水流受到的动反力应为
FN??(QBv2?QCv2?Qv1)
（3）
将上式投影到x轴，便得到叶片对水柱的动反力。
正确解答：
以水柱ABC为研究对象，本题的水流有一个进口、两个出口，故应用式（3），并将式（3）沿x轴投影，可得水柱所受到的水平动反力
FNx???QBv2cos??QCv2cos??Q??v1????Q?v2cos??v1?
而叶片所受的水平动压力FN?x与FNx大小相等、方向相反，作用在叶片上。
题3－8 质量为m、长为l的均质杆AB，其B端置于光滑水平面上，在杆与水平面夹角为?时无初速度释放。对于图3－8（a）所示坐标系，求杆端A的轨迹方程。
yAyA?yA?B(a)x?B(b)xB?x(c)图3—8错误解答：
考虑杆AB倒至任意位置时[图3－8（b）]，则A点的坐标为
xA?lcos?，yA?lsin?
从上式中消去?，则得A点的轨迹方程为
（1）
22xA?yA?l2
（2）
则A点的轨迹为圆。
错因分析：
因为水平面是光滑的，所以，在杆AB倒下的过程中，杆端B将沿水平面滑动而非固定点。上解中按坐标系Bxy固定不动而写出的A点轨迹式（1）、（2）显然是错误的。
另外，本题欲求的A点的轨迹，显然应为对于惯性参考系（固定不动）而言的绝对轨迹，图3-8（b）所示的坐标系Bxy随B点加速运动而不固定，因此，对
Bxy写出的轨迹方程不是绝对轨迹而是相对轨迹。
正确解答：
因为地面光滑，杆AB所受的所有力在水平方向投影的代数和为零，即有
?Fx?0，又因为将杆无初速度释放，故质心的初始速度等于零，即
vC0?0
于是质心的x坐标xC?常量。按题设的坐标系[图3－8（c）]，质心的初始x坐标为
xC0?lcos? 2 （1）
杆AB在任意位置时，有
xA?llcos??cos? 22
（2） （3）
yA?lsin?
从式（2）、（3）中消去?，得A点的轨迹方程为
2?2xA?lcos??2?yA?l2
（4）
故可知A点的轨迹为一椭圆。
题3－9 质量为m，半径为r的均质滑轮可绕中心轴O转动，缠绕其上的绳索吊一质量也为m的物块A，滑轮上作用一已知常力偶，其矩为M。轴承摩擦不计。试求滑轮的角加速度。
错误解答：
解一 以系统为研究对象。设滑轮在力偶M作用下反时针转动，其角加速度为?，角速度为?，其受力图如图3－9（a）所示。由
dL动量矩定理z??Mz?F?求解。
dt?MFOyOr?MFOxBFOyOFOx??BmgmgFT?FTv(a)Aa(b)Amg图3—9mg
滑轮对O轴的动量矩
1L1?JO??mr2?
2物块A对O轴的动量矩，设AB段绳长为l，则
L2?m?OA????mr2?l2?
2???1系统对O轴的动量矩为Lz?L1?L2??mr2?mr2?l2?2?????
? （1）
由动量矩定理，有
d??1222??mr?mr?ldt??2????????M?mgr ?? （2）
于是，滑轮的角加速度为
2?M?mgr??? 223mr?2ml解二 应用刚体绕定轴转动微分方程，有
1JO??M?mgr，mr2??M?mgr
22?M?mgr???于是
mr2错解分析：
（3）
（4） （5）
（1）在解一中，物块A的动量矩计算有误，它不等于mr2?l2?。因为物块A的动量为mv?mr?，它到O轴的垂直距离为r，故它对O轴的动量矩应为
mr2?。由此导致式（2）、（3）都是错误的。
??（2）在解二中，式（4）是错误的。因为该系统不是单个刚体，显然不能对系统应用刚体绕定轴转动微分方程Jz???Mz(F)来求解。只有分别以滑轮和物
块A为研究对象时，对滑轮才能应用Jz???Mz(F)求解，但此时外力对O轴之矩将不再是M?mgr而是M?FT?r，FT为绳中拉力。
正确解答：
解一 以整体系统为研究对象。滑轮的角速度?、角加速度?以及物块A的速度v，系统所受的力均如图3－9（a）所示。由质点系动量矩定理
dLO??MO?F?，有 dtd?JO??mv?r??M?mgr dt （1）
式中JO?12mr，v?r?，故有 2?122?d?mr?mr?M?mgr ???2?dtd?2?M?mgr?? 2dt3mr解二 分别以滑轮和物块A为研究对象，其运动量及受力图如图3－9（b）所示。
所以 ??对滑轮，应用刚体绕定轴转动微分方程，JO???MO(F)，有
JO??M?FT?r
（2）
对物块A，应用质点动力学基本方程，有
ma?FT?mg
上式中JO? （3）
12mr，a?r?，分别将其代入式（2）、（3），得 22?M?mgr??? 23mr