??s???? ?，即s??r???r???r? （5）
又因 所以
???2??
? ?????于是式（5）成为
??? ???r?s将式（3）代入式（6），得
?? （6）
?csc2???r????，??csc2??1?? ?r?所以
???tan2? ????? （7）
将式（7）代入式（6），得
???r?sec2? s （8）
将式（8）代入式（2），得
???r?sec2? x （9）
将式（9）对时间求导数，考虑式（7），得
?sec?tan???r?2sec?tan3? ????r??x以套筒A为研究对象，其受力图如图3－3（d）所示。由质点动力学基本方
程，有
??mg?FTcos? m?x
??sm?g??xxg?r?2sec?tan3? FT??mg?m22cos?xx?r重P?30kN的物块悬于刚度系数为
O1??题3－4
k?20kNcm的钢索的下端，以匀速v0?2ms下降，若滑
轮突然卡住，求钢索中的最大张力。
错误解答：
以物块为研究对象。取坐标原点在平衡位置。当卡住后物块移动距离x时受力图如图3－4所示。此时取钢索中的弹性力为
v0FF?k??0?x?
由质点运动微分方程，有
xP??P?F?P?k??0?x? m?x图3—4δx
0因平衡时k?0?P，代入上式，得
???kx m?x （1）
为求最大张力，需要钢索的最大伸长量，为此，将式（1）积分，有
??dx?dxdxdx??m?m??m?x?mx??kx
dtdtdxdxk?dx???xdx x即
m积分上式，有
0xmk12k12xm??xdx??xdx?v???x?0 ， （2） 0?v0??0m2m2k22v0?xm??02
m??即
2mv030000?2002?30000?2?xm???0????7.967cm ??k980?20000?20000?2最大张力Fmax?kxmax?20?7.967?159.34kN
错因分析：
上解中式（1）是正确的。其错误在于式（2）中的积分下限?0是错误的，因为题设的坐标原点为平衡位置，也就是说，运动开始时x0?0，故积分下限应取为零。若将积分下限取为?0，就意味着坐标原点不在平衡位置，而在设有伸长?0时的位置。若如此，钢索中的力应为
F?kx
而其运动微分方程应为
??kx?P ??P?kx，m?m?xx （3）
用式（3）积分，才能得到正确的最大伸长量xmax。
正确解答：
将上解式（2）的积分下限改为零，积分，得
0xmk12k12??xdx??xdx?v???xm ，0?v0?0m2m2所以
xm?v0km?20020000?98030000?7.825cm
因平衡时k?0?P，故?0?P20000??1.5cm k30000最大伸长量为xmax?xm??0?7.825?1.5?9.325cm
钢索中的最大张力为Fmax?kxmax?20?9.325?186.6kN
钢索内张力是物块重量的6.22倍，是很危险的。
题3－5
一个质量为m的人手拿一质量为m0的物块以水平成?角的初速
度v0向前跳出（图3－5）。当达到最高点时将物块以相对速度u水平向后抛出，问由于抛出物块使所跳速度增加多少？不计空气阻力。
错误解答：
y将人与物块视为一质点系作为研究对象，
当其达到最高点（尚未抛出物块）时质点系的
v0动量为
um0gmgv?m?m0?v0cos?
mv?m0u
（1）
抛出后，人的速度变为v，此时质点系的动量为
（2）
?sx
图3—5因有?Fx?0，所以质点系动量在x方向守恒。于是有
?m?m0?v0cos??mv?m0u
解得
v? （3）
?m?m0?v0cos??m0um
速度的增量为
?v?v?v0?m0?v0cos??u? m错解分析：
上解根据?Fx?0得出质点系动量在水平方向守恒是正确，但式（2）、（3）、（4）是错误的，因为动量守恒定理只适用于惯性参考系，计算动量时所用的速度必须是对惯性参考系的速度，即通常说的绝对速度，故式（2）中以物块的相对速度u计算其动量是错误的，应以它的绝对速度计算其动量，而绝对速度为
??u?v?。
正确解答：
将人与物块视为一质点系。当其达到最高点当尚未抛出物块之前，质点系的动量为
(m?m0)v0cos?
抛出物块后人的速度变为v，人的动量为mv。若以物块为动点，动参考系与人固结，则物块的相对速度为?u，牵连速度为v，绝对速度则为?u?v，物块的
动量为m0(v?u)。
因质点系所受外力在x轴方向投影的代数和为零，故质点系动量在x方向守恒。
于是，有
?m?m0?v0cos??mv?m0(v?u)
解得
v?v0cos??m0u m?m0m0u m?m0?v?v?v0cos?? 题3－6
质量为m1的小车A置于光滑水平面上，其上悬挂一质量为m2、
长为l的单摆（图3－6），单摆B按规律???0sinkt摆动，式中k为常数。设除瞬时小车处于静止状态，求小车的运动方程。
错误解答：
解一 因系统所受全部力在水平方向投影的代数和为零，故质点系动量在水平方向守恒，即
yx1A?m1xlm2B??mvx?0 （1）
于是，根据质点系动量守恒定律，有
?l??cos?)?0 （2） ?A?m2(x?A?l?m1x?cos?ml??A??2 xm1?m2图3—6
（3）
积分式（3），得
xA??lm2sin(?0sinkt)
m1?m2 （4）
解二
因有?Fx?0，故质心运动守恒。在任意位置时，质心C的坐标为
xC?m1xA?m2(xA?lsin?)
m1?m2 （5）
设坐标轴y的初始位置通过质心，即有
xC0?0
所以有
（6）
xA??m2lsin(?0sinkt)（7）
m1?m2错因分析：
在上解中，根据所有外力水平方向投影的代数和为零，即?Fx?0，从而得出质点系动量在水平方向投影守恒、质心在水平方向运动运动守恒的结论是正确的。但是，在上解中，错误的认为质点系动量守恒就是所有动量的代数和等于零。本题的初始运动状态，虽然小车静止，但单摆的摆锤B并不静止，这是因为给知
?0?k?0，也就是说，质点系初始动量在水平方向的投???0sinkt，当t?0时，??0?m2lk?0，即 影为m2l??mvx?常量?0
故上解一中式（1）是错误的，而由此导致了式（2）、（3）、（4）也是错误的。 在上面解二中，令坐标轴y的初始位置通过质心，就认为质心的x坐标恒为零是错误的。质心运动守恒是说质心的运动状态保持不变。而要保持质心的运动
状态不变，除了质心加速度为零外，还要考察质心的初始速度，若质心的初始速度为零，则质心保持静止不动，若质心有初速度，则保持这一速度不变，质心作
?0?lk?0，尽管小车是静止的，匀速直线运动。本题初始时摆锤m2具有初速度l?质心并不静止，故式（6）是错误的。
正确解答：
解一 系统所受的全部力在水平方向投影的代数和为零，即?Fx?0，所以质点系动量在水平方向投影为常量，即质点系动量在水平方向守恒，有
?mvx?常量
当t?0时，小车静止，但单摆B却不静止，这是因为
?0?k?0 ???0kcoskt，t?0时，??根据质点系动量守恒定律，有
?cos?)?m2lk?0 ?A?m2(x?A?l?m1x?A?lxm2?cos?? ?k?0??m1?m2积分上式，有
xA?lm2?k?0t?sin(?0sinkt)?
m1?m2解二 这一结果也可以由质心运动守恒定律求得，因有?Fx?0，且vC0?