微积分（B II）总结
chapter 8 多元函数微分学
8.1 多元函数的极限
先看极限是否存在（一个方向组(y=kx)或两个方向趋近于极限点（给定方向必须当x满足极限过程时,y也满足极限过程））。如果存在，能先求的先求，能用等价无穷小替换的就替换，最后考虑夹逼准则。
8.2 偏导数
点导数定义（多用于分段函数的分界点）
fx(x,y)=limDx?0f(x0+Dx,y0)-f(x0,y0)Dx fx(x0+Dx,y0)-fx(x0,y0)Dx
fxx(x0,y0)=lim例：求
Dx?0f(x,y)=xy,fx(0,0),就是求分段函数的点偏导数
f(x,y)在(x0,y0)连续，但偏导数不一定存在（如：锥）
8.3 全微分
函数可微，则偏导数必存在（逆否命题可证明函数不可微,证明时，把右边前两项移到左边，看它是不是r的高阶无穷小）
?z?zDz=Dx+Dy+o(r)?x?y?z?zdz=dx+dy?x?y
例：
对于某一点处的全微分，也可能要用到点导数。
8.4多元复合函数求导 8.4.1链式求导法则
z(x,y)=f(u(x,y),v(x,y))?z?f?u?f?v=+?x?u?x?v?x
链式求导法则要求函数对每个中间变量求偏导，乘以中间变量对自变量求偏导。而所谓函数对第一中间变量求偏导就是说另外把两个中间变量看做不变。
小心：中间变量要带入，例：
（在计算z对u的偏导时，相当于把v,t看做不变） 这里的u,v要带入（第三行），并且z是具体的函数，所以在对中间变量求偏导数时，偏导数可以求出来
8.4.2隐函数求偏导
全微分性质的不变性
例：
①用全微分形式的不变性
两边同时取全微分，相当于（-xy）为中间变量，求出全微分后，直接出偏导
②想象z=z(x,y)即z是复合函数，两边对x,y求导也能的出来（较慢）
8.5 隐函数求导公式 8.5.1 一个方程
dyFxF(x,y)=0=>=-dxFy
Fy?zFx?zF(x,y,z)=0=>=-,=-?xFz?yFz
分母上的做函数，分子上的做一个自变量，对分子上的求偏导 如：
若求偏x，那就把方程看成z=z(x,y)对z求导。注意，x,yy独立，然而z对x，y求导不是0
8.5.2 方程组
F(x,y,u,v)=0G(x,y,u,v)=0
?u观察方程组，4个变量，两个等式，那么说有两个自由变量。让求?y,就是把方程组看成u=u(x,y),v=v(x,y), 上下对y求导。（把分母上的变量看做函数）
8.6空间曲线的几何应用 8.6.1空间曲线的切线与法平面
{x't,y't,z't}特殊地，{1,y'x,z'x}
无论方程如何给出，弄出对x或对t的导数十分关键。注意，在某点处的切线方程在看方向向量时要把那个点带入
8.6.2曲面的切平面与法线
F(x,y,z)=0=>{Fx,Fy,Fz},特殊地
z=f(x,y)=>{fx,fy,-1}
8.6.3 方向导数与梯度
?z?z?z=cosa+cosb?l?x?y即梯度与所给方向l的方向向量的点