旋度是一个向量
10.8几种曲面积分的解题方法
第一类曲面积分
第一类曲面积分就是再求一个以密度为被积函数的曲面的质量，那么，解法如下： ①如果被积函数是两种形式相加，看其中一个，有可能它是0（对称性）. ②把曲面看成是以其中两个变量为自变量，另外一个是因变量的函数。如果不能看成函数或者这个函数很复杂，再考虑对称性，只取这个曲面的一个重复单元，变成函数。
③求面积元素带入，化为二重积分，完成。
第二类曲面积分
①如果曲面封闭或者接近封闭，直接进入下一步。否则进入第五步。 ②曲面是否封闭？如果不封闭要添加辅助曲面 ③用高斯公式，小心符号 ④还没有完!！！再算辅助曲面的曲面积分！！！相加减完成。 ⑤用对称性或可加性，把曲面变成函数
⑥如果看成z=z(x,y)，那么要投影并带入z，而且把组合形式化成dxdy的形式，此时，再看符号。（再算法向量时，不考虑符号，令F(x,y,z)=z-z(x,y)）
chapter 11无穷级数
11.1常数项级数
11.1.1 几个常见的常数项级数
①等比级数
￥?qn=n=0￥1(q<1)1-q否则发散
②p级数
11111=1++++…++…?np2p3p4ppnn=1
p<=1 发散 p>1收敛
11.1.2 级数收敛性质
?u?vnn=1￥n=1￥￥n收敛，则n=1?ku￥n+lvn收敛
?un=1n收敛，则
n=k+1?u￥n收敛，且逆亦真
没括号收敛，则加括号收敛；加括号发散，则没括号发散 收敛必要条件=>n?￥
limun=0(反过来不对，调和级数一般项为0，但发散)
11.2 常数项级数审敛法
操作方法，直到判断完成：
① 是正项级数吗？如果是交错级数或任意项级数可不可以加一个绝对值来证明绝对值收敛？
② 可以拆分吗？如果一般项由两项之和相加形成，且预期两项都可以使级数发散或收敛，把他们拆开。审敛法一般审单项式 对于每一个单项式，要进行以下操作： ③ 收敛级数的必要条件 ④ 比值审敛法，根值审敛法
有阶乘的，有不带多余项的指数项的都好用
如：
根值适合有指数项的一般项 ⑤ 极限审敛法
乘以n，乘以n的p次方，对于：这种形式非常有用 ⑥ 放缩、比较审敛法 比较审敛法的极限形式
考虑多项式中当n趋于无穷时的主要项，与主要项做比值
如：
1n与3做比值
比较审敛法放缩：
在这里，把n换成与n相关的结果大于等于0的多项式，依然要会用 放缩技巧，想证明发散就往小了放：
sinn<1￡n，cosn亦然
ln(n+1)￡n￡e-1
nn(n+k)>n,(k>0)k<0改成小于号就行了
如果从某项（有限项）之后，这个不等式才成立，那么扔掉前面那些项
⑦ 继续进入第③步
11.2.1 正项级数
正项级数收敛?部分和数列有界
级数收敛的必要条件——
limun=0n?￥
比较审敛法
放缩级数，大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散
比较审敛法极限形式：
极限审敛法
比值审敛法（达郎贝尔判别法）
根值审敛法
、
11.2.2交错级数
交错级数是指一正一负，如果一般项并不单调减小，而是在某个n之后单调减小，那么把前面的那些项扔掉