第1节 有关单位过程的极限分布
对单位根过程这种非平稳序列的分析，传统分析方法失效，需寻找新的处理方法。这些新的分析方法都是建立在维纳过程（布朗运动）和泛函中心极限定理之上的。
一、 维纳过程
维纳过程(Wiener Process)也称为布朗运动过程(Brownian Motion Process)，是现代时间序列经济计量分析中的基本概念之一。设W(t)是定义在闭区间[0，1]上一连续变化的随机过程，若该过程满足：
(a) W(0)=0；
(b) 对闭区间[0，1]上任意一组分割0?t1?t2???tk?1，W(t)的变化量：
W?t2??W?t1?,W?t3??W?t2?,?,W?tk??W?tk?1?
为相互独立的随机变量；
(c) 对任意0?s?t?1，有
W(t)?W(s)~N(0,t?s) (5.2.1)
则称W(t)为标准维纳过程（或标准布朗运动过程）。
从定义我们可以看出，标准维纳过程是一个具有正态独立增量的过程。由定义显然有：
W(t)?W(t)?W(0)~N(0,t) (5.2.2)
W(1)~N(0,1)
即标准维纳过程W(t)在任意时刻t服从正态分布。
将标准维纳过程推广，可得到一般维纳过程的概念。令
B(t)??W(t)
称B(t)是方差为?2的维纳过程。显然，B(t)满足标准维纳过程定义中的前两个条件，第三个条件则变为：
对任意0?s?t?1，有
B(t)?B(s)~N(0,?2(t?s))
根据上式，显然有
B(t)?B(t)?B(0)~N(0,?2t) (5.2.3)
B(1)~N(0,?2) 利用标准维纳过程还可以构造其它的连续随机过程，例如，对于Y?t???W?t??，在任意时刻t，有分布：
Y(t)~t?2(1)
更为重要的是：维纳过程所具有的良好性质以及它相当广泛的适用性，使得它在概率极限定理，随机积分和随机微分方程等许多理论研究和实际应用中扮演着十分重要的角色。
2二、 有关随机游动的极限分布
1、泛函中心极限定理
1
泛函中心极限定理是对一般中心极限定理的推广，它是研究非平稳时间序列过程的重要工具。在给出泛函中心极限定理之前，我们先回顾一下概率论与数理统计中研究平稳随机变量序列的中心极限定理：
如果随机变量序列{?t}：?1,?2,?,?n,?独立同分布，且有
E(?t)??,D(?t)??2??,1令?N?Nt?1,2,?
??1Nt，则
N(?N??)?1(??N1NtL??)???N(0,?2) (5.2.4)
中心极限定理表明：独立同分布的随机变量之和（或样本均值）为正态分
布。
对于白噪声序列??t?，由于
E(?t)???0,D(?t)??2??,t?1,2,?
根据中心极限定理，有
1NLN(?N??)??t???N(0,?2) (5.2.5) ?N1下面，我们根据白噪声序列??t?，构造一新统计量：
设r为闭区间[0，1]上的任一实数，记Nr?[rN]为不超过rN的最大整数，对于给定白噪声序列??t?：?1,?2,?,?N，取其前Nr?[rN]项构造统计量：
1NrX(r)???t (5.2.6)
N1显然X(r)为一样本均值，当N固定，r在闭区间[0，1]上变化时，X(r)是定义在[0，1]上的一个阶梯函数，其具体表达式为：
00?r?1N??1?r?2?1/NNN??2?r?3 (5.2.7) X?r???(?1??2)/NNN?????r?1?(?1??2???N)/N
将X(r)乘上N，再写成如下形式：
NX?r??1??N1Nrt?Nr??1?N??Nr????t? ?1?Nr由前述中心极限定理，有
1Nrt?1另一方面，对于[0，1]上的任意实数r，有
Nr[rN]lim?lim?r N??N??NN
因此，NX(r)有如下极限分布：
2
??NrtL???N0,?2
??NX?r??对照(5.2.3)式，有
1??N1NrtL???N(0,?2r) (5.2.8)
B(r)??W(r)~N(0,?2r)
这表明，NX(r)的极限分布与一般维纳过程B(t)??W(t)的分布是一致的。
将上述结论整理如下，就得到泛函中心极限定理。
泛函中心极限定理：
设序列??t?：?1,?2,?,?t,?独立同分布，且满足
E(?t)?0,D(?t)??2??,t?1,2,?
r为闭区间[0，1]上的任一实数，给定样本?1,?2,?,?N，取其前Nr?[rN]项构造统计量：
1NrX(r)???t
N1那么，当N??时，统计量NX(r)有如下极限：
NX?r??1??N1NrtL???B(r)??W(r) (5.2.9)
在(5.2.9)式中令r=1，有
1NLNX?1???t????W(1)~N(0,?2) (5.2.10) ?N1与(5.2.5)式对照可以看出，一般中心极限定理是泛函中心极限定理的一个特例。
下面给出非平稳时间序列分析中经常用到的有关随机游动的极限分布，所使用的基本工具就是泛函中心极限定理。
2、 有关随机游动的极限分布
设序列?yt?遵从随机游动过程：
yt?yt?1??t （5.1.4）
其中，{?t}独立同分布，且E(?t)?0,D(?t)?E(?t2)??2??，y0=0。则以下极限成立：
（1） N（2）N（3）N?1?12??1NtL????W(1)；
122Ly?????[W(1)?1]； ?t?1t21L????W(r)dr； ?yt?1?1N01N1N?32L（4）N?32?t?t????W(1)???W(r)dr； L（5）N?52?tyt?1?????rW(r)dr；
101N01（6）N?2?y1N2t?1????L2?W012(r)dr。
证明过程中，可用到下列关系：
3
1X(r)?N??1Nrt，
NX?r??1??N1NrtL???B(r)??W(r)
1Yt?1 N证明：（1）由(5.2.10)式，显然成立。 （2）因为
yt2?(yt?1??t)2?yt2?1??t2?2yt?1?t
整理得
1yt?1?t?(yt2?yt2?1??t2)
2两边求和并除以N，得
1N1121N2?t) ?yt?1?t?2(NyN?N?N11又因为
1N1X(1)???t?yN
N1N代入上式，有
1N1?1N2?2yt?1?t??(NX(1))???t? ?N12?N1?根据大数定理，有
1N2p?t????2 ?N1注意(5.2.10)式，从而有
1N122Ly?????[W(1)?1] （2）证毕。 ?t?1tN12(3)根据(5.2.7)式知，X(r)是[0，1]上的一个阶梯函数，再由（5.1.4），有
yt?yt?1??t??1??2????t
r?t/N，dr?1/N，X(r)?因此X(r)可表示为
?0?y/N1??X?r???y2/N?????yN/N0?r?12NN1N?r?2N?r?3N (5.2.11)
?r?1求阶梯函数X(r)在[0，1]上的积分，有
N1yN?111y11y21?2yt?1 ?0X(r)dr?0?N?N?N?N?N???N?N?N?1两边同乘
N，得
?由于
10NX(r)dr?N?32?y1Nt?1
4
LNX?r????B(r)??W(r)
根据连续映射定理?，则有
N（1） 因为
N?32N1?32?yt?1??1N10LNX(r)dr?????W(r)dr （3）证毕。
01?yt?1?N?32[?1?(?1??2)?(?1??2??3)???(?1??2????N?1)]
?N?32[(N?1)?1?(N?2)?2???2?N?2??N?1] ?N ?N所以
N?32?32?(N?t)???1N1Nt
?121Nt?N?32?t?1?12N1Nt
N1?t?tt?N??t?N?32?yt?1
利用（1）和（3）的结论，有
N（2） 因为
?32?t?1NN????W(1)???W(r)dr （4）证毕。
012NL1tyt?11?? ?NN11NN[Nr]?11t?1t12 ?N??X(r)?(?r?)
NNNN11[Nr]?1?N12??X(r)dr0N
1[Nr]?1???[NX(r)]dr0N根据泛函中心极限定理(5.2.9)式，并利用连续映射定理，得到
N?52?tyt?1?NN?52?ty1Nt?1?????rW(r)dr （5）证毕。
0L1（3） 因为
?y?1 N?y?N??t?1??
N11?N?N1 ?N?X2(r)?N1?2N2t?1N2(t?1t?r?) NN?N?X2(r)dr
01 ??[NX(r)]2dr
01 LL?
连续映射定理是指：若St(?)???g[S(?)]。 ??S(?)，g(?)是连续泛函，则有：g[St(?)]?
5